準凸関数と準凸関数
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。ここで、$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $は空でない凸集合です。各$ x_1、x_2 \ in S $に対して、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq max \ left \がある場合、関数fは準凸であると言われます。 {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$
たとえば、$ f \ left（x \ right）= x ^ {3} $
$ f：S \ rightarrow R $とします。ここで、$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $は空でない凸集合です。各$ x_1、x_2 \ in S $に対して、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ geq min \ left \がある場合、関数fは準凸であると言われます。 {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \}、\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$
備考
- すべての凸関数は準凸ですが、その逆は当てはまりません。
- 準凸と準凸の両方である関数は、準単調と呼ばれます。
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とし、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合です。関数fは、$ S _ {\ alpha} = \ left（x \ in S：f \ left（x \ right）\ leq \ alpha \ right \} $が各実数\ alpha $に対して凸である場合に限り、準凸です。
証明
fをSの準凸とします。
$ x_1、x_2 \ in S _ {\ alpha} $とすると、$ x_1、x_2 \ in S $と$ max \ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} \ leq \ alpha $
$ \ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$とし、$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ leq max \ left \ {f \ left（x_1 \ right） 、f \ left（x_2 \ right）\ right \} \ Rightarrow x \ in S $
したがって、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq max \ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} \ leq \ alpha $
したがって、$ S _ {\ alpha} $は凸です。
コンバース
$ S _ {\ alpha} $が各$ \ alpha $に対して凸であるとします。
$ x_1、x_2 \ in S、\ lambda \ in \ left（0,1 \ right）$
$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $
$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $とします
$ x_1の場合、x_2 \ in S _ {\ alpha}、\ alpha = max \ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $
$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ in S _ {\ alpha} $
$ \ Rightarrow f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）\ leq \ alpha $
したがって、証明されました。
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とし、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合です。関数fは、$ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S：f \ left（x \ right）\ geq \ alpha \ right \} $が各実数$ \に対して凸である場合にのみ準凹型です。 alpha $。
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $とし、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合です。関数fは、$ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S：f \ left（x \ right）= \ alpha \ right \} $が各実数$ \ alphaに対して凸である場合に限り、準単調です。 $。