厳密に準凸関数

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $およびSを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1、x_2に対して、fは厳密に準凸関数であると言われます。 \ in S $ with $ f \ left（x_1 \ right）\ neq f \ left（x_2 \ right）$、$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right） <max \：\ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $

備考

すべての厳密な準凸関数は厳密に凸です。
厳密に準凸関数は準凸を意味しません。
厳密に準凸関数は強く準凸ではない場合があります。
疑似凸関数は厳密に準凸関数です。

定理

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $を厳密に準凸関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とします。問題を考えてみましょう：$ min \：f \ left （x \ right）、x \ in S $。$ \ hat {x} $がローカル最適解である場合、$ \ bar {x} $はグローバル最適解です。

証明

$ f \ left（\ bar {x} \ right）\ leq f \ left（\ hat {x} \ right）$のような$ \ bar {x} \ in S $が存在するとします。

$ \ bar {x}、\ hat {x} \ in S $およびSは凸集合であるため、したがって、

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat {x} \ in S、\ forall \ lambda \ in \ left（0,1 \ right）$$

$ \ hat {x} $は極小値であるため、$ f \ left（\ hat {x} \ right）\ leq f \ left（\ lambda \ bar {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat {x} \ right）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、\ delta \ right）$

fは厳密に準凸であるため。

$$ f \ left（\ lambda \ bar {x} + \ left（1- \ lambda \ right）\ hat {x} \ right）<max \ left \ {f \ left（\ hat {x} \ right）、f \ left（\ bar {x} \ right）\ right \} = f \ left（\ hat {x} \ right）$$

したがって、それは矛盾です。

厳密に準凹関数

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $およびSを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは厳密に準凸関数になるようにsaudされます。 x_2 \ in S $ with $ f \ left（x_1 \ right）\ neq f \ left（x_2 \ right）$、

$$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）> min \ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $$。

例

$ f \ left（x \ right）= x ^ 2-2 $

定義域$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）の制約を満たすドメイン内の任意の2点$ x_1、x_2 $を取る場合、これは厳密に準凸関数です。 <max \ left \ {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $関数が負のx軸で減少し、正のx軸で増加しているため（放物線なので）。
$ f \ left（x \ right）=-x ^ 2 $

これは厳密な準凸関数ではありません。$ x_1 = 1 $と$ x_2 = -1 $と$ \ lambda = 0.5 $を取ると、$ f \ left（x_1 \ right）=-1 = f \ left（ x_2 \ right）$しかし$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）= 0 $したがって、定義に記載されている条件を満たしていません。しかし、定義域内で$ f \ left（\ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 \ right）> min \ left \の制約を満たす任意の2つの点を取る場合、これは準凹関数です。 {f \ left（x_1 \ right）、f \ left（x_2 \ right）\ right \} $。関数が負のx軸で増加し、正のx軸で減少しているため。