凸最適化-フリッツ-ジョン条件
必要条件
定理
問題を考えてみましょう-$ min f \ left（x \ right）$このような$ x \ in X $ここで、Xは$ \ mathbb {R} ^ n $の開集合であり、$ g_i \ left（x \ right） \ leq 0、\ forall i = 1,2、.... m $。
$ f：X \ rightarrow \ mathbb {R} $と$ g_i：X \ rightarrow \ mathbb {R} $とします。
$ \ hat {x} $を実行可能解とし、fと$ g_i、i \ in I $を$ \ hat {x} $で微分可能とし$ g_i、i \ in J $を$ \ hat {で連続とします。 x} $。
$ \ hat {x} $が上記の問題をローカルで解決する場合、$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \）となるような$ u_0、u_i \ in \ mathbb {R}、i \ in I $が存在します。 right）+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left（\ hat {x} \ right）$ = 0
ここで、$ u_0、u_i \ geq 0、i \ in I $および$ \ left（u_0、u_I \ right）\ neq \ left（0,0 \ right）$
さらに、$ g_i、i \ in J $も$ \ hat {x} $で微分可能である場合、上記の条件は次のように記述できます。
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left（\ hat {x} \ right）= 0 $
$ u_ig_i \ left（\ hat {x} \ right）$ = 0
$ u_0、u_i \ geq 0、\ forall i = 1,2、....、m $
$ \ left（u_0、u \ right）\ neq \ left（0,0 \ right）、u = \ left（u_1、u_2、s、u_m \ right）\ in \ mathbb {R} ^ m $
備考
$ u_i $はラグランジュ乗数と呼ばれます。
$ \ hat {x} $が特定の問題に対して実行可能であるという条件は、主要な実行可能条件と呼ばれます。
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）+ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left（x \ right）= 0 $の要件はデュアル実現可能性と呼ばれます状態。
条件$ u_ig_i \ left（\ hat {x} \ right）= 0、i = 1、2、... m $は相補的たるみ条件と呼ばれます。この条件には$ u_i = 0、i \ in J $が必要です
主要な実行可能条件、二重の実行可能条件、および補完的な緩みを合わせて、フリッツ・ジョン条件と呼びます。
十分条件
定理
$ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left（\ hat {x} \ right）、\ varepsilon> 0 $の$ \ varepsilon $近傍が存在する場合、fは$ N_ \ varepsilon \ left（ \ hat {x} \ right）\ cap S $と$ g_i、i \ in I $は、$ N_ \ varepsilon \ left（\ hat {x} \ right）\ cap S $、次に$ \ hat {上で厳密に擬凸です。 x} $は、上記の問題に対する局所的な最適解です。fが$ \ hat {x} $の擬凸であり、$ g_iの場合、i \ in I $は両方とも厳密に擬凸で$ \ hat {x}の準凸関数である場合、\ hat {x} $は問題のグローバルな最適解です。上記の。
例
$ min \：f \ left（x_1、x_2 \ right）= \ left（x_1-3 \ right）^ 2 + \ left（x_2-2 \ right）^ 2 $
$ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5、x_1 + 2x_2 \ leq 4、x_1、x_2 \ geq 0 $および$ \ hat {x} = \ left（2 、1 \ right）$
$ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）= x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5、$とします。
$ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）= x_1 + 2x_2-4、$
$ g_3 \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_1 $および$ g_4 \ left（x_1、x_2 \ right）= -x_2 $。
したがって、上記の制約は次のように書くことができます。
$ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$
$ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$
$ g_3 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0 $および
$ g_4 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0 $したがって、$ I = \ left \ {1,2 \ right \} $したがって、$ u_3 = 0、u_4 = 0 $
$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（2、-2 \ right）、\ bigtriangledown g_1 \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（4,2 \ right ）$および$ \ bigtriangledown g_2 \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（1,2 \ right）$
したがって、これらの値をフリッツ・ジョン条件の最初の条件に入れると、次のようになります。
$ u_0 = \ frac {3} {2} u_2、\：\：u_1 = \ frac {1} {2} u_2、$そして$ u_2 = 1 $とすると、$ u_0 = \ frac {3} {2} 、\：\：u_1 = \ frac {1} {2} $
したがって、フリッツ・ジョンの条件が満たされます。
$ min f \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_1 $。
$ x_2- \ left（1-x_1 \ right）^ 3 \ leq 0 $、
$ -x_2 \ leq 0 $および$ \ hat {x} = \ left（1,0 \ right）$
$ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）= x_2- \ left（1-x_1 \ right）^ 3 $、
$ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）=-x_2 $
したがって、上記の制約は次のように記述できます。
$ g_1 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$
$ g_2 \ left（x_1、x_2 \ right）\ leq 0、$
したがって、$ I = \ left \ {1,2 \ right \} $
$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（-1,0 \ right）$
$ \ bigtriangledown g_1 \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（0,1 \ right）$および$ g_2 \ left（\ hat {x} \ right）= \ left（0、-1 \ right ）$
したがって、これらの値をフリッツ・ジョン条件の最初の条件に入れると、次のようになります。
$ u_0 = 0、\：\：u_1 = u_2 = a> 0 $
したがって、フリッツ・ジョンの条件が満たされます。