グローバルオプティマの十分条件と必要条件
定理
fを2回微分可能な関数とします。$ \ bar {x} $が極小値の場合、$ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）= 0 $およびヘッセ行列$ H \ left（\ bar {x} \ right）$正の半定値です。
証明
$ d \ in \ mathbb {R} ^ n $とします。fは$ \ bar {x} $で2回微分可能であるため。
したがって、
$ f \ left（\ bar {x} + \ lambda d \ right）= f \ left（\ bar {x} \ right）+ \ lambda \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）^ T d + \ lambda ^ 2d ^ TH \ left（\ bar {x} \ right）d + \ lambda ^ 2d ^ TH \ left（\ bar {x} \ right）d + $
$ \ lambda ^ 2 \ left \ | d \ right \ | ^ 2 \ beta \ left（\ bar {x}、\ lambda d \ right）$
ただし、$ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）= 0 $および$ \ beta \ left（\ bar {x}、\ lambda d \ right）\ rightarrow 0 $ as $ \ lambda \ rightarrow 0 $
$ \ Rightarrow f \ left（\ bar {x} + \ lambda d \ right）-f \ left（\ bar {x} \ right）= \ lambda ^ 2d ^ TH \ left（\ bar {x} \ right） d $
$ \ bar {x} $は極小値であるため、$ f \ left（x \ right）\ leq f \ left（\ bar {x} + \ lambda d \ rightのような$ \ delta> 0 $が存在します。 ）、\ forall \ lambda \ in \ left（0、\ delta \ right）$
定理
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $とします。ここで、$ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $はSに対して2回微分可能です。$ \ bigtriangledownf \ left（x \ right）= 0 $および$ H \ left（\ bar {x} \ right）$は、すべての$ x \ in S $に対して正の半確定であり、$ \ bar {x} $はグローバルな最適解です。
証明
$ H \ left（\ bar {x} \ right）$は正の半確定であるため、fはS上の凸関数です。fは微分可能であり、$ \ bar {x} $で凸であるため
$ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）^ T \ left（x- \ bar {x} \ right）\ leq f \ left（x \ right）-f \ left（\ bar {x} \ right）、\ forall x \ in S $
$ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）= 0なので、f \ left（x \ right）\ geq f \ left（\ bar {x} \ right）$
したがって、$ \ bar {x} $はグローバルな最適値です。
定理
$ \ bar {x} \ in S $が問題$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $の局所最適解であると仮定します。ここで、Sは$ \ mathbb {R} ^ n $の空でないサブセットです。 Sは凸です。$ min \：f \ left（x \ right）$ここで、$ x \ in S $です。
次に：
$ \ bar {x} $は、グローバルな最適解です。
$ \ bar {x} $が厳密に極小値であるか、fが厳密に凸関数である場合、$ \ bar {x} $は一意のグローバル最適解であり、強力な極小値でもあります。
証明
$ \ bar {x} $を、$ x \ neq \ bar {x} $および$ f \ left（\ bar {x} \ right）= f \ left（\ hat {）のような、問題に対する別のグローバルな最適解とします。 x} \ right）$
$ \ hat {x}、\ bar {x} \ in S $およびSは凸であるため、$ \ frac {\ hat {x} + \ bar {x}} {2} \ in S $およびfは厳密に凸。
$ \ Rightarrow f \ left（\ frac {\ hat {x} + \ bar {x}} {2} \ right）<\ frac {1} {2} f \ left（\ bar {x} \ right）+ \ frac {1} {2} f \ left（\ hat {x} \ right）= f \ left（\ hat {x} \ right）$
これは矛盾です。
したがって、$ \ hat {x} $は独自のグローバル最適ソリューションです。
当然の結果
$ f：S \ subset \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能な凸関数とします。ここで、$ \ phi \ neq S \ subset \ mathbb {R} ^ n $は凸集合です。$ min f \ left（x \ right）、x \ in S $の問題を考えてみましょう。$ \ bigtriangledownf \ left（\ bar {x} \ right）^ Tの場合、$ \ bar {x} $が最適解です。 \ left（x- \ bar {x} \ right）\ geq 0、\ forall x \ in S. $
証明
$ \ bar {x} $が最適解であるとします。つまり、$ f \ left（\ bar {x} \ right）\ leq f \ left（x \ right）、\ forall x \ in S $
$ \ Rightarrow f \ left（x \ right）= f \ left（\ bar {x} \ right）\ geq 0 $
$ f \ left（x \ right）= f \ left（\ bar {x} \ right）+ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）^ T \ left（x- \ bar {x} \右）+ \左\ | x- \ bar {x} \ right \ | \ alpha \ left（\ bar {x}、x- \ bar {x} \ right）$
ここで、$ \ alpha \ left（\ bar {x}、x- \ bar {x} \ right）\ rightarrow 0 $ as $ x \ rightarrow \ bar {x} $
$ \ Rightarrow f \ left（x \ right）-f \ left（\ bar {x} \ right）= \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）^ T \ left（x- \ bar {x } \ right）\ geq 0 $
当然の結果
fを$ \ bar {x} $で微分可能な凸関数とすると、$ \ bigtriangledown f \ left（\ bar {x} \ right）= 0 $の場合、$ \ bar {x} $はグローバル最小値になります。
例
$ f \ left（x \ right）= \ left（x ^ 2-1 \ right）^ {3}、x \ in \ mathbb {R} $。
$ \ bigtriangledown f \ left（x \ right）= 0 \ Rightarrow x = -1,0,1 $。
$ \ bigtriangledown ^ 2f \ left（\ pm 1 \ right）= 0、\ bigtriangledown ^ 2 f \ left（0 \ right）= 6> 0 $。
$ f \ left（\ pm 1 \ right）= 0、f \ left（0 \ right）=-1 $
したがって、$ f \ left（x \ right）\ geq -1 = f \ left（0 \ right）\ Rightarrow f \ left（0 \ right）\ leq f \ left（x \ right）\ forall x \ in \ mathbb {R} $
$ f \ left（x \ right）= x \ log x $は$ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R}、x> 0 \ right \} $で定義されています。
$ {f} 'x = 1 + \ log x $
$ {f} '' x = \ frac {1} {x}> 0 $
したがって、この関数は厳密に凸です。
$ f \ left（x \ right）= e ^ {x}、x \ in \ mathbb {R} $は厳密に凸です。