カラテオドリの定理

Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の任意のセットとします。$ x \ in Co \ left（S \ right）$の場合、$ x \ in Co \ left（x_1、x_2、....、 x_n、x_ {n + 1} \ right）$。

証明

$ x \ in Co \ left（S \ right）$なので、$ x $は、S内の有限数の点の凸結合で表されます。

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j、\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1、\ lambda_j \ geq 0 $および$ x_j \ in S、 \ forall j \ in \ left（1、k \ right）$

$ k \ leq n + 1 $の場合、得られる結果は明らかに真です。

$ k \ geq n + 1 $の場合、$ \ left（x_2-x_1 \ right）\ left（x_3-x_1 \ right）、.....、\ left（x_k-x_1 \ right）$は線形従属です。

$ \ Rightarrow \ exists \ mu _j \ in \ mathbb {R}、2 \ leq j \ leq k $（すべてゼロではない）$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left （x_j-x_1 \ right）= 0 $

$ \ mu_1 =-\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $を定義してから、$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0、\ displaystyle \ sum \制限_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

ここで、すべての$ \ mu_jの$がゼロに等しいわけではありません。$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $なので、$ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $の少なくとも1つ

次に、$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left（\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right）x_j $

$ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}、\ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}、$となるように$ \ alpha $を選択しますいくつかの$ i = 1,2、...、k $の場合

$ \ mu_j \ leq 0の場合、\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

$ \ mu_j> 0の場合、\：\ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0、 j = 1,2、... k $

特に、$ \ alpha $の定義により、$ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left（\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right）x_j $、ここで

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $および$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left（\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right）= 1 $および$ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

したがって、xは、最大（k-1）個の点の凸結合として表すことができます。

この縮小プロセスは、xが（n + 1）要素の凸結合として表されるまで繰り返すことができます。