凸最適化-アフィンセット

集合$ A $は、任意の2つの異なる点について、これらの点を通る線が集合$ A $にある場合、アフィン集合であると言われます。

Note −

• $ S $は、ポイントのすべてのアフィン結合が含まれている場合にのみ、アフィンセットです。

• 空のセットと単集合は、両方ともアフィンセットと凸セットです。

  たとえば、線形方程式の解はアフィン集合です。

証明

Sを線形方程式の解とします。

定義上、$ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n：Ax = b \ right \} $

$ x_1、x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $および$ Ax_2 = b $とします。

証明するには：$ A \ left [\ theta x_1 + \ left（1- \ theta \ right）x_2 \ right] = b、\ forall \ theta \ in \ left（0,1 \ right）$

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left（1- \ theta \ right）x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left（1- \ theta \ right）Ax_2 = \ theta b + \ left（1- \ theta \ right ）b = b $

したがって、Sはアフィン集合です。

定理

$ C $がアフィンセットで$ x_0 \ in C $の場合、セット$ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0：x \ in C \ right \} $はCの部分空間です。

証明

$ x_1、x_2 \ in V $とします

表示するには：$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ for some $ \ alpha、\ beta $

ここで、Vの定義により、$ x_1 + x_0 \ in C $および$ x_2 + x_0 \ in C $

ここで、$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left（x_1 + x_0 \ right）+ \ beta \ left（x_2 + x_0 \ right）+ \ left（1- \ alpha- \ beta \ right）x_0 $

ただし、Cはアフィンセットであるため、$ \ alpha \ left（x_1 + x_0 \ right）+ \ beta \ left（x_2 + x_0 \ right）+ \ left（1- \ alpha- \ beta \ right）x_0 \ in C $ 。

したがって、$ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $

したがって、証明されました。