凸最適化-コーン

$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない集合Cは、$ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $の場合、頂点0の円錐であると言われます。

集合Cは、円錐であると同時に凸である場合、凸錐です。

たとえば、$ y = \ left | x \ right | $は凸錐ではないため、凸錐ではありません。

しかし、$ y \ geq \ left | x \ right | $は、円錐であると同時に凸であるため、凸錐です。

Note −円錐Cは、$ x、y \ in C、x + y \ in C $の場合に限り、凸です。

証明

Cは円錐であるため、$ x、y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $および$ \ mu y \ in C \：\ forall \：\ lambda、\ mu \ geq 0 $の場合

$ \ lambda x + \ left（1- \ lambda \ right）y \ in C \：\ forall \：\ lambda \ in \ left（0、1 \ right）$の場合、Cは凸です。

Cは円錐なので、$ \ lambda x \ in C $および$ \ left（1- \ lambda \ right）y \ in C \ Leftrightarrow x、y \ in C $

したがって、$ x + y \ in C $の場合、Cは凸です。

一般に、$ x_1、x_2 \ in C $の場合、$ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C、\ forall \ lambda_1、\ lambda_2 \ geq 0 $

例

• $ \ mathbb {R} ^ n $内のベクトルの無限セットの円錐曲線は、凸錐です。

• 空のセットはすべて凸錐です。

• 一次関数はすべて凸錐です。

• 超平面は線形であるため、凸錐でもあります。

• 閉じた半空間も凸錐です。

Note − 2つの凸錐の交点は凸錐ですが、それらの結合は凸錐である場合とそうでない場合があります。