疑似凸関数

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）\ geq f \ left（ x_1 \ right）$、または同等に$ f \ left（x_1 \ right）> f \ left（x_2 \ right）$の場合$ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right ）<0 $

疑似凹機能

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）\ leq f \ left（ x_1 \ right）$、または同等に$ f \ left（x_1 \ right）> f \ left（x_2 \ right）$の場合$ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right ）> 0 $

備考

関数が疑似凸と疑似凹の両方である場合、は疑似線形と呼ばれます。
微分可能な凸関数も疑似凸です。
疑似凸関数は凸ではない場合があります。例えば、

$ f \ left（x \ right）= x + x ^ 3 $は凸ではありません。$ x_1 \ leq x_2、x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $の場合

したがって、$ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）= \ left（1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right）\ left（x_2-x_1 \ right） \ geq 0 $

そして、$ f \ left（x_2 \ right）-f \ left（x_1 \ right）= \ left（x_2-x_1 \ right）+ \ left（x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right）\ geq 0 $

$ \ Rightarrow f \ left（x_2 \ right）\ geq f \ left（x_1 \ right）$

したがって、それは擬凸です。

疑似凸関数は厳密に準凸です。したがって、疑似凸のすべての極小値も大域的最小値です。

厳密に疑似凸関数

$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right）\ geq 0 $、$ f \ left（x_2 \ right）> f \ left（x_1 \ right）$、または同等に$ f \ left（x_1 \ right）\ geq f \ left（x_2 \ right）$ then $ \ bigtriangledown f \ left（x_1 \ right）^ T \ left（x_2-x_1 \ right ）<0 $

定理

fを疑似凸関数とし、$ \ hat {x} \ in S $に対して$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）= 0 $とすると、$ \ hat {x} $はグローバル最適です。 S上のfの解。

証明

$ \ hat {x} $をfの臨界点とします。つまり、$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）= 0 $

fは疑似凸関数であるため、$ x \ in S、$の場合、次のようになります。

$$ \ bigtriangledown f \ left（\ hat {x} \ right）\ left（x- \ hat {x} \ right）= 0 \ Rightarrow f \ left（\ hat {x} \ right）\ leq f \ left （x \ right）、\ forall x \ in S $$

したがって、$ \ hat {x} $はグローバルな最適解です。

リマーク

fが厳密に疑似凸関数である場合、$ \ hat {x} $は一意のグローバル最適解です。

定理

fがSに対して微分可能な準凸関数である場合、fは厳密に準凸関数であると同時に準凸関数でもあります。

備考

$ \ mathbb {R} ^ n $の開集合Sで定義された2つの擬凸関数の合計は、擬凸ではない可能性があります。
$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $を準凸関数、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸部分集合とすると、すべての臨界点がグローバルである場合に限り、fは疑似凸です。 S上のfの最小値。
Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸部分集合とし、$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $を$ \ bigtriangledown f \ left（x \ right）\ neqのような関数とします。 $ x \ in S $ごとに0 $の場合、fは準凸関数である場合に限り、疑似凸です。