疑似凸関数

$ f:S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $、$ f \ left(x_2 \ right)\ geq f \ left( x_1 \ right)$、または同等に$ f \ left(x_1 \ right)> f \ left(x_2 \ right)$の場合$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )<0 $

疑似凹機能

$ f:S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $、$ f \ left(x_2 \ right)\ leq f \ left( x_1 \ right)$、または同等に$ f \ left(x_1 \ right)> f \ left(x_2 \ right)$の場合$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )> 0 $

備考

  • 関数が疑似凸と疑似凹の両方である場合、は疑似線形と呼ばれます。

  • 微分可能な凸関数も疑似凸です。

  • 疑似凸関数は凸ではない場合があります。例えば、

    $ f \ left(x \ right)= x + x ^ 3 $は凸ではありません。$ x_1 \ leq x_2、x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $の場合

    したがって、$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)= \ left(1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right)\ left(x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

    そして、$ f \ left(x_2 \ right)-f \ left(x_1 \ right)= \ left(x_2-x_1 \ right)+ \ left(x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right)\ geq 0 $

    $ \ Rightarrow f \ left(x_2 \ right)\ geq f \ left(x_1 \ right)$

    したがって、それは擬凸です。

    疑似凸関数は厳密に準凸です。したがって、疑似凸のすべての極小値も大域的最小値です。

厳密に疑似凸関数

$ f:S \ rightarrow \ mathbb {R} $を微分可能関数とし、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合とすると、各$ x_1に対して、fは疑似凸であると言われます。 x_2 \ in S $ with $ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $、$ f \ left(x_2 \ right)> f \ left(x_1 \ right)$、または同等に$ f \ left(x_1 \ right)\ geq f \ left(x_2 \ right)$ then $ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )<0 $

定理

fを疑似凸関数とし、$ \ hat {x} \ in S $に対して$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= 0 $とすると、$ \ hat {x} $はグローバル最適です。 S上のfの解。

証明

$ \ hat {x} $をfの臨界点とします。つまり、$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= 0 $

fは疑似凸関数であるため、$ x \ in S、$の場合、次のようになります。

$$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)\ left(x- \ hat {x} \ right)= 0 \ Rightarrow f \ left(\ hat {x} \ right)\ leq f \ left (x \ right)、\ forall x \ in S $$

したがって、$ \ hat {x} $はグローバルな最適解です。

リマーク

fが厳密に疑似凸関数である場合、$ \ hat {x} $は一意のグローバル最適解です。

定理

fがSに対して微分可能な準凸関数である場合、fは厳密に準凸関数であると同時に準凸関数でもあります。

備考

  • $ \ mathbb {R} ^ n $の開集合Sで定義された2つの擬凸関数の合計は、擬凸ではない可能性があります。

  • $ f:S \ rightarrow \ mathbb {R} $を準凸関数、Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸部分集合とすると、すべての臨界点がグローバルである場合に限り、fは疑似凸です。 S上のfの最小値。

  • Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸部分集合とし、$ f:S \ rightarrow \ mathbb {R} $を$ \ bigtriangledown f \ left(x \ right)\ neqのような関数とします。 $ x \ in S $ごとに0 $の場合、fは準凸関数である場合に限り、疑似凸です。