凸集合の極値

Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の凸集合とします。$ x = \ lambda x_1 + \ left（1- \ lambda \ right）x_2 $と$ x_1、x_2 \ in S $、および$ \ lambda \の場合、ベクトル$ x \ in S $はSの極値点であると言われます。 in \ left（0、1 \ right）\ Rightarrow x = x_1 = x_2 $。

例

Step 1 − $ S = \ left \ {\ left（x_1、x_2 \ right）\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

極値、$ E = \ left \ {\ left（x_1、x_2 \ right）\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 − $ S = \ left \ {\ left（x_1、x_2 \ right）\ in \ mathbb {R} ^ 2：x_1 + x_2 <2、-x_1 + 2x_2 \ leq 2、x_1、x_2 \ geq 0 \ right \ } $

極値、$ E = \ left \ {\ left（0、0 \ right）、\ left（2、0 \ right）、\ left（0、1 \ right）、\ left（\ frac {2} {3 }、\ frac {4} {3} \ right）\ right \} $

Step 3 − Sは、点$ \ left \ {\ left（0,0 \ right）、\ left（1,1 \ right）、\ left（1,3 \ right）、\ left（-2、 4 \ right）、\ left（0,2 \ right）\ right \} $

極値、$ E = \ left \ {\ left（0,0 \ right）、\ left（1,1 \ right）、\ left（1,3 \ right）、\ left（-2,4 \ right） \ right \} $

備考

• 凸集合Sの任意の点は、その極値の凸結合として表すことができます。

• これは、$ \ mathbb {R} ^ n $の閉じた有界集合にのみ当てはまります。

• 無制限のセットには当てはまらない場合があります。

k極値

凸集合内の点は、それがS内のk次元凸集合の内部点であり、S内の（k + 1）次元凸集合の内部点ではない場合に限り、k極値と呼ばれます。基本的に、凸集合Sの場合、k個の極値点がk次元の開いた面になります。