凸最適化-方向

Sを$ \ mathbb {R} ^ n $の閉じた凸集合とします。ゼロ以外のベクトル$ d \ in \ mathbb {R} ^ n $は、$ x \ in S、x + \ lambda d \ in S、\ forall \ lambda \ geq 0. $ごとに、Sの方向と呼ばれます。

• $ \ alpha> 0 $に対して$ d \ neq \ alpha d_2 $の場合、Sの2つの方向$ d_1 $と$ d_2 $は別個と呼ばれます。

• $ S $の方向$ d $は、2つの異なる方向の正の線形結合として記述できない場合、つまり$ \ lambda _1、\に対して$ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $の場合、極端な方向であると言われます。 lambda _2> 0 $、次に$ d_1 = \ alpha d_2 $ for some $ \ alpha $。

• その他の方向は、極端な方向の正の組み合わせとして表すことができます。

• 凸集合$ S $の場合、一部の$ x \ in S $およびすべての$ \ lambda \ geq0 $に対して$ x + \ lambda d \ in S $となる方向dが呼び出されます。 recessive $ S $で。

• $ \ mathbb {R} ^ n $の空でない凸集合S上の特定の関数$ f：S \ rightarrow $が最大に達する点の集合をEとすると、$ E $はの露出面と呼ばれます。 $ S $。露出面の方向は露出方向と呼ばれます。

• 方向が極端な方向である光線は、極端な光線と呼ばれます。

例

関数$ f \ left（x \ right）= y = \ left | x \ right | $について考えてみます。ここで、$ x \ in \ mathbb {R} ^ n $です。dを$ \ mathbb {R} ^ n $の単位ベクトルとします。

次に、dは関数fの方向です。これは、任意の$ \ lambda \ geq 0に対して、x + \ lambda d \ in f \ left（x \ right）$であるためです。