凸最適化-方向

Sを $m a t h b b R^{n}$ の閉じた凸集合とします。ゼロ以外のベクトル $d i n m a t h b b R^{n}$ は、 $x i n S 、 x + l a m b d a d i n S 、 f o r a l l l a m b d a g e q 0.$ ごとに、Sの方向と呼ばれます。

$a l p h a > 0$ に対して $d n e q a l p h a d_{2}$ の場合、Sの2つの方向 $d_{1}$ と $d_{2}$ は別個と呼ばれます。
$S$ の方向 $d$ は、2つの異なる方向の正の線形結合として記述できない場合、つまり $l a m b d a_{1} 、 \に対して$ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $の場合、極端な方向であると言われます。 l a m b d a_{2} > 0$ 、次に $d_{1} = a l p h a d_{2}$ for some $a l p h a$ 。
その他の方向は、極端な方向の正の組み合わせとして表すことができます。
凸集合 $S$ の場合、一部の $x i n S$ およびすべての $l a m b d a g e q 0$ に対して $x + l a m b d a d i n S$ となる方向dが呼び出されます。 recessive $S$ で。
$m a t h b b R^{n}$ の空でない凸集合S上の特定の関数 $f ： S r i g h t a r r o w$ が最大に達する点の集合をEとすると、 $E$ はの露出面と呼ばれます。 $S$ 。露出面の方向は露出方向と呼ばれます。
方向が極端な方向である光線は、極端な光線と呼ばれます。

例

関数 $f l e f t （ x r i g h t ） = y = l e f t | x r i g h t |$ について考えてみます。ここで、 $x i n m a t h b b R^{n}$ です。dを $m a t h b b R^{n}$ の単位ベクトルとします。

次に、dは関数fの方向です。これは、任意の $l a m b d a g e q 0 に対して、 x + l a m b d a d i n f l e f t （ x r i g h t ）$ であるためです。