畳み込みと相関
畳み込み
畳み込みは、LTIシステムの入力と出力の関係を表すために使用される数学演算です。これは、LTIシステムの入力、出力、およびインパルス応答を次のように関連付けます。
$$ y（t）= x（t）* h（t）$$
ここで、y（t）= LTIの出力
x（t）= LTIの入力
h（t）= LTIのインパルス応答
畳み込みには2つのタイプがあります。
連続畳み込み
離散たたみ込み
連続畳み込み
$ y（t）\、\、= x（t）* h（t）$
$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau $
（または）
$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t- \ tau）h（\ tau）d \ tau $
ディスクリート畳み込み
$ y（n）\、\、= x（n）* h（n）$
$ = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} x（k）h（nk）$
（または）
$ = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} x（nk）h（k）$
畳み込みを使用することにより、システムのゼロ状態応答を見つけることができます。
デコンボリューション
デコンボリューションは、信号および画像処理で広く使用されているコンボリューションの逆プロセスです。
畳み込みのプロパティ
可換性
$ x_1（t）* x_2（t）= x_2（t）* x_1（t）$
分配法則
$ x_1（t）* [x_2（t）+ x_3（t）] = [x_1（t）* x_2（t）] + [x_1（t）* x_3（t）] $
結合プロパティ
$ x_1（t）* [x_2（t）* x_3（t）] = [x_1（t）* x_2（t）] * x_3（t）$
シフトプロパティ
$ x_1（t）* x_2（t）= y（t）$
$ x_1（t）* x_2（t-t_0）= y（t-t_0）$
$ x_1（t-t_0）* x_2（t）= y（t-t_0）$
$ x_1（t-t_0）* x_2（t-t_1）= y（t-t_0-t_1）$
インパルスによる畳み込み
$ x_1（t）* \ delta（t）= x（t）$
$ x_1（t）* \ delta（t- t_0）= x（t-t_0）$
単位ステップの畳み込み
$ u（t）* u（t）= r（t）$
$ u（t-T_1）* u（t-T_2）= r（t-T_1-T_2）$
$ u（n）* u（n）= [n + 1] u（n）$
スケーリングプロパティ
$ x（t）* h（t）= y（t）$の場合
次に$ x（at）* h（at）= {1 \ over | a |} y（at）$
出力の差別化
$ y（t）= x（t）* h（t）$の場合
次に$ {dy（t）\ over dt} = {dx（t）\ over dt} * h（t）$
または
$ {dy（t）\ over dt} = x（t）* {dh（t）\ over dt} $
Note:
2つの因果シーケンスの畳み込みは因果的です。
2つの反因果的シーケンスの畳み込みは反因果的です。
2つの等しくない長さの長方形の畳み込みは、台形になります。
2つの等しい長さの長方形を畳み込むと、三角形になります。
複雑な関数自体は、その関数の統合に相当します。
Example: $ u（t）* u（t）= r（t）$
上記の注記によると、$ u（t）* u（t）= \ int u（t）dt = \ int 1dt = t = r（t）$
ここでは、$ u（t）$を積分するだけで結果が得られます。
複雑な信号の制限
2つの信号が畳み込まれている場合、結果として得られる畳み込まれた信号の範囲は次のとおりです。
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
例：以下に示す信号の畳み込みの範囲を見つけます
ここでは、畳み込む長さが等しくない2つの長方形があり、台形になっています。
複雑な信号の範囲は次のとおりです。
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
したがって、結果は周期7の台形になります。
複雑な信号の領域
複雑な信号の下の領域は$ A_y = A_x A_h $で与えられます
ここで、A x =入力信号の下の領域
a h =インパルス応答下の面積
a y =出力信号の下の領域
Proof: $ y（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau $
双方で統合する
$ \ int y（t）dt \、\、\、= \ int \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau dt $
$ = \ int x（\ tau）d \ tau \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h（t- \ tau）dt $
信号の領域は、その信号自体の統合であることがわかっています。
$ \したがって、A_y = A_x \、A_h $
DCコンポーネント
任意の信号のDC成分はによって与えられます
$ \ text {DCコンポーネント} = {\ text {信号の領域} \ over \ text {信号の周期}} $
例：以下に示す複雑な信号のDC成分は何ですか？
ここで、x 1（t）の面積=長さ×幅= 1×3 = 3
x 2の面積（t）=長さ×幅= 1×4 = 4
複雑な信号の面積= x 1の面積（t）×x 2の面積（t）
= 3×4 = 12
複雑な信号の持続時間=下限の合計<t <上限の合計
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \したがって、$複雑な信号のDC成分= $ \ text {信号の面積} \ over \ text {信号の周期} $
DC成分= $ {12 \ over 7} $
ディスクリート畳み込み
離散たたみ込みを計算する方法を見てみましょう。
i. To calculate discrete linear convolution:
2つのシーケンスを畳み込むx [n] = {a、b、c}＆h [n] = [e、f、g]
複雑な出力= [ea、eb + fa、ec + fb + ga、fc + gb、gc]
Note: 任意の2つのシーケンスにそれぞれm、n個のサンプルがある場合、結果の複雑なシーケンスには[m + n-1]個のサンプルが含まれます。
Example: 2つのシーケンスを畳み込むx [n] = {1,2,3}＆h [n] = {-1,2,2}
複雑な出力y [n] = [-1、-2 + 2、-3 + 4 + 2、6 + 4、6]
= [-1、0、3、10、6]
ここで、x [n]には3つのサンプルが含まれ、h [n]にも3つのサンプルがあるため、結果のシーケンスは3 + 3-1 = 5サンプルになります。
ii. To calculate periodic or circular convolution:
巡回畳み込みは、離散フーリエ変換に有効です。巡回畳み込みを計算するには、すべてのサンプルが実数である必要があります。周期的または循環的畳み込みは、高速畳み込みとも呼ばれます。
長さm、nの2つのシーケンスがそれぞれ巡回畳み込みを使用して畳み込まれている場合、最大[m、n]サンプルを持つシーケンスが生成されます。
例：巡回畳み込みを使用して、2つのシーケンスx [n] = {1,2,3}＆h [n] = {-1,2,2}を畳み込みます
通常の複雑な出力y [n] = [-1、-2 + 2、-3 + 4 + 2、6 + 4、6]。
= [-1、0、3、10、6]
ここで、x [n]には3つのサンプルが含まれ、h [n]にも3つのサンプルが含まれています。したがって、巡回畳み込みによって得られる結果のシーケンスには、max [3,3] = 3サンプルが必要です。
ここで、周期的な畳み込みの結果を取得するために、通常の畳み込みの最初の3つのサンプル[周期は3であるため]は同じです。
$ \したがって、$巡回畳み込みの結果$ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
相関
相関は、2つの信号間の類似性の尺度です。相関の一般式は次のとおりです。
$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t）x_2（t- \ tau）dt $$
相関には2つのタイプがあります。
自己相関
相互相関
自己相関関数
これは、信号とそれ自体との相関として定義されます。自己相関関数は、信号とその時間遅延バージョンの間の類似性の尺度です。R（$ \ tau $）で表されます。
信号x（t）を考えてみましょう。x（t）とその時間遅延バージョンの自己相関関数は次の式で与えられます。
$$ R_ {11}（\ tau）= R（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）x（t- \ tau）dt \ quad \ quad \ text {[+ veシフト]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）x（t + \ tau）dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $$
ここで、$ \ tau $ =検索、スキャン、または遅延パラメータ。
信号が複素数の場合、自己相関関数は次の式で与えられます。
$$ R_ {11}（\ tau）= R（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）x *（t- \ tau）dt \ quad \ quad \ text {[ + veシフト]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t + \ tau）x *（t）dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift] } $$
エネルギー信号の自己相関関数の性質
自己相関は共役対称性を示します。つまり、R（$ \ tau $）= R *（-$ \ tau $）
原点、つまり$ \ tau $ = 0でのエネルギー信号の自己相関関数は、その信号の総エネルギーに等しく、次のように与えられます。
R（0）= E = $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、| \、x（t）\、| ^ 2 \、dt $
自己相関関数$ \ infty {1 \ over \ tau} $、
自己相関関数は$ \ tau $ = 0、つまり| R（$ \ tau $）|で最大になります。≤R（0）∀$ \ tau $
自己相関関数とエネルギースペクトル密度は、フーリエ変換のペアです。すなわち
$ FT \、[R（\ tau）] = \ Psi（\ omega）$
$ \ Psi（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} R（\ tau）e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R（\ tau）= x（\ tau）* x（-\ tau）$
電力信号の自己相関関数
周期Tの周期的電力信号の自己相関関数は次の式で与えられます。
$$ R（\ tau）= \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{-T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \、x（t）x *（t- \ tau）dt $$
プロパティ
電力信号の自己相関は共役対称性を示します。つまり、$ R（\ tau）= R *（-\ tau）$
$ \ tau = 0 $（原点）での電力信号の自己相関関数は、その信号の総電力に等しくなります。すなわち
$ R（0）= \ rho $
電力信号の自己相関関数$ \ infty {1 \ over \ tau} $、
電力信号の自己相関関数は、$ \ tau $ = 0で最大になります。つまり、
$ | R（\ tau）| \ leq R（0）\、\ forall \、\ tau $
自己相関関数とパワースペクトル密度は、フーリエ変換のペアです。すなわち、
$ FT [R（\ tau）] = s（\ omega）$
$ s（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} R（\ tau）e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R（\ tau）= x（\ tau）* x（-\ tau）$
密度スペクトル
密度スペクトルを見てみましょう。
エネルギー密度スペクトル
エネルギー密度スペクトルは、次の式を使用して計算できます。
$$ E = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \、x（f）\、| ^ 2 df $$
パワー密度スペクトル
パワー密度スペクトルは、次の式を使用して計算できます。
$$ P = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \、| \、C_n | ^ 2 $$
相互相関関数
相互相関は、2つの異なる信号間の類似性の尺度です。
二つの信号X検討1（t）とX 2（t）を。これら2つの信号の相互相関$ R_ {12}（\ tau）$は次の式で与えられます。
$$ R_ {12}（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t）x_2（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t + \ tau）x_2（t）\、dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $$
信号が複雑な場合は
$$ R_ {12}（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t）x_2 ^ {*}（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \ text {[+ veシフト]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t + \ tau）x_2 ^ {*}（t）\、dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $ $
$$ R_ {21}（\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_2（t）x_1 ^ {*}（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \ text {[+ veシフト]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_2（t + \ tau）x_1 ^ {*}（t）\、dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $ $
エネルギー信号と電力信号の相互相関関数の特性
自己相関は共役対称性を示します。つまり、$ R_ {12}（\ tau）= R ^ * _ {21}（-\ tau）$です。
相互相関は畳み込みのように可換ではありません。
$$ R_ {12}（\ tau）\ neq R_ {21}（-\ tau）$$
-
R 12（0）= 0の場合、$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1（t）x_2 ^ *（t）dt = 0 $の場合、2つの信号は直交していると言われます。
電力信号の場合$ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{-T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \、x（t）x ^ *（ t）\、dt $の場合、2つの信号は直交していると言われます。
相互相関関数は、ある信号のスペクトルを別の信号のスペクトルの複素共役に乗算することに対応します。すなわち
$$ R_ {12}（\ tau）\ leftarrow \ rightarrow X_1（\ omega）X_2 ^ *（\ omega）$$
これは相関定理とも呼ばれます。
パーセバルの定理
エネルギー信号のパーセバルの定理は、信号の総エネルギーは、信号のスペクトルによって次のように取得できると述べています。
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | X（\ omega）| ^ 2 d \ omega $
Note: 信号のエネルギーがEの場合、その信号x（at）の時間スケーリングバージョンのエネルギーはE / aです。