ラプラス変換（LT）

複素フーリエ変換は、両側ラプラス変換とも呼ばれます。これは微分方程式を解くために使用されます。複素指数形式x（t）の信号= GEが終了LTIシステム検討^STを。

ここで、s =任意の複素数= $ \ sigma + j \ omega $、

σ= sの実数、および

ω= sの虚数

LTIの応答は、入力とそのインパルス応答の畳み込みによって取得できます。

$ y（t）= x（t）\ times h（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h（\ tau）\、x（t- \ tau）d \ tau $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h（\ tau）\、Ge ^ {s（t- \ tau）} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}。\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h（\ tau）\、e ^ {（-s \ tau）} d \ tau $

$ y（t）= Ge ^ {st} .H（S）= x（t）.H（S）$

ここで、H（S）= $ h（\ tau）のラプラス変換= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} h（\ tau）e ^ {-s \ tau} d \ tau $

同様に、$ x（t）= X（S）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-st} dt \、... \、...（のラプラス変換1）$

ラプラス変換とフーリエ変換の関係

$ x（t）= X（S）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-st} dt $のラプラス変換

上記の式にs =σ+jωを代入します。

$→X（\ sigma + j \ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、x（t）e ^ {-（\ sigma + j \ omega）t} dt $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [x（t）e ^ {-\ sigma t}] e ^ {-j \ omega t} dt $

$ \したがって、X（S）= FT [x（t）e ^ {-\ sigma t}] \、... \、...（2）$

$ X（S）= X（\ omega）\ quad \ quad for \、\、s = j \ omega $

$ X（S）= FT [x（t）e ^ {-\ sigma t}] $であることがわかります。

$ \ to x（t）e ^ {-\ sigma t} = FT ^ {-1} [X（S）] = FT ^ {-1} [X（\ sigma + j \ omega）] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x（t）= e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ {（\ sigma + j \ omega）t} d \ omega \、。 .. \、...（3）$

ここで、$ \ sigma + j \ omega = s $

$jdω= ds→dω= ds / j $

$ \したがってx（t）= {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（s）e ^ {st} ds \、... \、...（ 4）$

式1と4は、信号x（t）のラプラス変換と逆ラプラス変換を表しています。

ディリクレ条件は、ラプラス変換の存在を定義するために使用されます。すなわち

関数f（t）には、有限数の最大値と最小値があります。
与えられた時間間隔で、信号f（t）に有限数の不連続性がなければなりません。
与えられた時間間隔で絶対可積分でなければなりません。すなわち

$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \、f（t）| \、dt \ lt \ infty $