ラプラス変換(LT)

複素フーリエ変換は、両側ラプラス変換とも呼ばれます。これは微分方程式を解くために使用されます。複素指数形式x(t)の信号= GEが終了LTIシステム検討STを

ここで、s =任意の複素数= $ \ sigma + j \ omega $、

σ= sの実数、および

ω= sの虚数

LTIの応答は、入力とそのインパルス応答の畳み込みによって取得できます。

$ y(t)= x(t)\ times h(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h(\ tau)\、x(t- \ tau)d \ tau $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h(\ tau)\、Ge ^ {s(t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}。\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、h(\ tau)\、e ^ {(-s \ tau)} d \ tau $

$ y(t)= Ge ^ {st} .H(S)= x(t).H(S)$

ここで、H(S)= $ h(\ tau)のラプラス変換= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} h(\ tau)e ^ {-s \ tau} d \ tau $

同様に、$ x(t)= X(S)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)e ^ {-st} dt \、... \、...(のラプラス変換1)$

ラプラス変換とフーリエ変換の関係

$ x(t)= X(S)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)e ^ {-st} dt $のラプラス変換

上記の式にs =σ+jωを代入します。

$→X(\ sigma + j \ omega)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、x(t)e ^ {-(\ sigma + j \ omega)t} dt $

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [x(t)e ^ {-\ sigma t}] e ^ {-j \ omega t} dt $

$ \したがって、X(S)= FT [x(t)e ^ {-\ sigma t}] \、... \、...(2)$

$ X(S)= X(\ omega)\ quad \ quad for \、\、s = j \ omega $

逆ラプラス変換

$ X(S)= FT [x(t)e ^ {-\ sigma t}] $であることがわかります。

$ \ to x(t)e ^ {-\ sigma t} = FT ^ {-1} [X(S)] = FT ^ {-1} [X(\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x(t)= e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(\ sigma + j \ omega)e ^ {(\ sigma + j \ omega)t} d \ omega \、。 .. \、...(3)$

ここで、$ \ sigma + j \ omega = s $

$jdω= ds→dω= ds / j $

$ \したがってx(t)= {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X(s)e ^ {st} ds \、... \、...( 4)$

式1と4は、信号x(t)のラプラス変換と逆ラプラス変換を表しています。

ラプラス変換が存在するための条件

ディリクレ条件は、ラプラス変換の存在を定義するために使用されます。すなわち

  • 関数f(t)には、有限数の最大値と最小値があります。

  • 与えられた時間間隔で、信号f(t)に有限数の不連続性がなければなりません。

  • 与えられた時間間隔で絶対可積分でなければなりません。すなわち

    $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \、f(t)| \、dt \ lt \ infty $

初期値と最終値の定理

ラプラス未知関数x(t)の変換が知られている場合、t = 0で初期及びすなわちXその未知の信号の最終値(t)を決定することができる+およびt =∞。

初期値の定理

Statement: x(t)とその1次導関数がラプラス変換可能である場合、x(t)の初期値は次の式で与えられます。

$$ x(0 ^ +)= \ lim_ {s \ to \ infty}⁡SX(S)$$

最終値の定理

Statement: x(t)とその1次導関数がラプラス変換可能である場合、x(t)の最終値は次の式で与えられます。

$$ x(\ infty)= \ lim_ {s \ to \ infty}⁡SX(S)$$