フーリエ変換

フーリエ級数の主な欠点は、周期信号にのみ適用できることです。非周期的または非周期的など、フーリエ級数では表現できない自然に生成された信号がいくつかあります。この欠点を克服するために、フーリエは、時間(または空間)ドメインから周波数ドメインへ、またはその逆に信号を変換する数学モデルを開発しました。これは「フーリエ変換」と呼ばれます。

フーリエ変換は、LTIシステムの分析、レーダー、天文学、信号処理など、物理学や工学で多くの用途があります。

フーリエ級数からフーリエ変換を導出する

周期Tの周期信号f(t)を考えます。f(t)の複素フーリエ級数表現は次のように与えられます。

$$ f(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ...(1 )$$

$ {1 \ over T_0} = \ Delta f $とすると、式1は次のようになります。

$ f(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ...(2)$

しかし、あなたはそれを知っています

    $ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $

式2に代入します。

(2)$ \ Rightarrow f(t)= \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f(t)e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \、e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

$ t_0 = {T \ over2} $とします

$ = \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f(t)e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ 、e ^ {j2 \ pi k \ Deltaft}。\ Delta f $

$ T \ to \ inftyの限界では、\ Delta f $は微分$ dfに近づき、k \ Delta f $は連続変数$ f $になり、合計は積分になります

$$ f(t)= lim_ {T \ to \ infty}⁡\ left \ {\ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-T \ over2} ^ {T \ over2} f (t)e ^ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \、e ^ {j2 \ pi k \ Deltaft}。\ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、f(t)e ^ {-j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Where} \、F [\ omega] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、f(t)e ^ {-j2 \ pi ft} dt] $

信号のフーリエ変換$$ f(t)= F [\ omega] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、f(t)e ^ {-j \ omega t} dt] $$

逆フーリエ変換は$$ f(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

基本関数のフーリエ変換

基本関数のフーリエ変換を見てみましょう。

GATE機能のFT

$$ F [\ omega] = AT Sa({\ omega T \ over 2})$$


インパルス関数のFT

$ FT [\ omega(t)] = [\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ delta(t)e ^ {-j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {-j \ omega t} \、| \、t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \したがって、\ delta(\ omega)= 1 $


ユニットステップ関数のFT:

$ U(\ omega)= \ pi \ delta(\ omega)+1 / j \ omega $


指数のFT

$ e ^ {-at} u(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 /(a +jω)$

$ e ^ {-at} u(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 /(a + j \ omega)$

$ e ^ {-a \、| \、t \、|} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 +ω^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta(\ omega- \ omega_0)$


符号関数のFT

$ sgn(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

フーリエ変換が存在するための条件

関数f(t)は、関数がディリクレの条件を満たす場合にのみフーリエ変換を使用して表すことができます。すなわち

  • 関数f(t)には、有限数の最大値と最小値があります。

  • 与えられた時間間隔で、信号f(t)に有限数の不連続性がなければなりません。

  • それは与えられた時間間隔で絶対可積分でなければなりません。

    $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \、| \、f(t)| \、dt <\ infty $

離散時間フーリエ変換(DTFT)

離散時間フーリエ変換(DTFT)または離散時間シーケンスx [n]のフーリエ変換は、複素指数シーケンス$ e ^ {j \ omega n} $に関するシーケンスの表現です。

DTFTシーケンスx [n]は次の式で与えられます。

$$ X(\ omega)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)e ^ {-j \ omega n} \、\、... \、...(1) $$

ここで、X(ω)は実周波数変数ωの複素関数であり、次のように書くことができます。

$$ X(\ omega)= X_ {re}(\ omega)+ jX_ {img}(\ omega)$$

ここで、X re(ω)、X img(ω)はそれぞれX(ω)の実数部と虚数部です。

$$ X_ {re}(\ omega)= | \、X(\ omega)| \ cos \ theta(\ omega)$$

$$ X_ {img}(\ omega)= | \、X(\ omega)| \ sin \ theta(\ omega)$$

$$ | X(\ omega)| ^ 2 = | \、X_ {re}(\ omega)| ^ 2 + | \、X_ {im}(\ omega)| ^ 2 $$

また、X(ω)は$ X(\ omega)= | \、X(\ omega)|として表すこともできます。e ^ {j \ theta(ω)} $

ここで、$ \ theta(\ omega)= arg {X(\ omega)} $

$ | \、X(\ omega)|、\ theta(\ omega)$は、X(ω)の振幅および位相スペクトルと呼ばれます。

逆離散時間フーリエ変換

$$ x(n)= {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ pi} ^ {\ pi} X(\ omega)e ^ {j \ omega n} d \ omega \、\、.. .. \、...(2)$$

収束条件:

式1の無限級数は、収束する場合としない場合があります。x(n)は絶対に合計可能です。

$$ \ text {when} \、\、\ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} | \、x(n)| \、<\ infty $$

絶対的に合計可能なシーケンスには常に有限のエネルギーがありますが、有限のエネルギーのシーケンスは必ずしも絶対的に合計可能である必要はありません。