収束領域（ROC）
ラプラス変換が収束するσの範囲変化は、収束領域と呼ばれます。
ラプラス変換のROCの特性
ROCには、s平面のjω軸に平行なストリップラインが含まれています。
x（t）が絶対可積分であり、持続時間が有限である場合、ROCはs平面全体です。
x（t）は、次にROC右サイドシーケンスである場合：再{S}>σ O。
x（t）は、次にROC左側面配列である場合は、次のRe {S} <σ O。
x（t）が両面シーケンスの場合、ROCは2つの領域の組み合わせです。
ROCは、以下の例を使用して説明できます。
Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$
$ LT [x（t）] = LT [e- ^ {at} u（t）] = {1 \ over S + a} $
$ Re {} \ gt -a $
$ ROC：Re {s} \ gt> -a $
Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$
$ LT [x（t）] = LT [e ^ {at} u（t）] = {1 \ over Sa} $
$ Re {s} <a $
$ ROC：Re {s} <a $
Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$
$ LT [x（t）] = LT [e ^ {-at} u（t）+ e ^ {at} u（-t）] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $
$ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $の場合
$ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $
上の図を参照すると、組み合わせ領域は–aからaまでです。したがって、
$ ROC：-a <Re {s} <a $
因果関係と安定性
システムが因果関係を持つためには、その伝達関数のすべての極がs平面の右半分である必要があります。
システムは、その伝達関数のすべての極がs平面の左半分にあるときに安定していると言われます。
伝達関数の少なくとも1つの極がs平面の右半分にシフトすると、システムは不安定であると言われます。
システムは、その伝達関数の少なくとも1つの極がs平面のjω軸上にある場合、わずかに安定していると言われます。
基本機能のROC
| f（t） | F（s） | ROC |
|---|---|---|
| $ u（t）$ | $$ {1 \ over s} $$ | ROC：Re {s}> 0 |
| $ t \、u（t）$ | $$ {1 \ over s ^ 2} $$ | ROC：Re {s}> 0 |
| $ t ^ n \、u（t）$ | $$ {n！\ over s ^ {n + 1}} $$ | ROC：Re {s}> 0 |
| $ e ^ {at} \、u（t）$ | $$ {1 \ over sa} $$ | ROC：Re {s}> a |
| $ e ^ {-at} \、u（t）$ | $$ {1 \ over s + a} $$ | ROC：Re {s}> -a |
| $ e ^ {at} \、u（t）$ | $$-{1 \ over sa} $$ | ROC：Re {s} <a |
| $ e ^ {-at} \、u（-t）$ | $$-{1 \ over s + a} $$ | ROC：Re {s} <-a |
| $ t \、e ^ {at} \、u（t）$ | $$ {1 \ over（sa）^ 2} $$ | ROC：Re {s}> a |
| $ t ^ {n} e ^ {at} \、u（t）$ | $$ {n！\ over（sa）^ {n + 1}} $$ | ROC：Re {s}> a |
| $ t \、e ^ {-at} \、u（t）$ | $$ {1 \ over（s + a）^ 2} $$ | ROC：Re {s}> -a |
| $ t ^ n \、e ^ {-at} \、u（t）$ | $$ {n！\ over（s + a）^ {n + 1}} $$ | ROC：Re {s}> -a |
| $ t \、e ^ {at} \、u（-t）$ | $$-{1 \ over（sa）^ 2} $$ | ROC：Re {s} <a |
| $ t ^ n \、e ^ {at} \、u（-t）$ | $$-{n！\ over（sa）^ {n + 1}} $$ | ROC：Re {s} <a |
| $ t \、e ^ {-at} \、u（-t）$ | $$-{1 \ over（s + a）^ 2} $$ | ROC：Re {s} <-a |
| $ t ^ n \、e ^ {-at} \、u（-t）$ | $$-{n！\ over（s + a）^ {n + 1}} $$ | ROC：Re {s} <-a |
| $ e ^ {-at} \ cos \、bt $ | $$ {s + a \ over（s + a）^ 2 + b ^ 2} $$ | |
| $ e ^ {-at} \ sin \、bt $ | $$ {b \ over（s + a）^ 2 + b ^ 2} $$ |