収束領域(ROC)

ラプラス変換が収束するσの範囲変化は、収束領域と呼ばれます。

ラプラス変換のROCの特性

  • ROCには、s平面のjω軸に平行なストリップラインが含まれています。

  • x(t)が絶対可積分であり、持続時間が有限である場合、ROCはs平面全体です。

  • x(t)は、次にROC右サイドシーケンスである場合:再{S}>σ O

  • x(t)は、次にROC左側面配列である場合は、次のRe {S} <σ O

  • x(t)が両面シーケンスの場合、ROCは2つの領域の組み合わせです。

ROCは、以下の例を使用して説明できます。

Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$

$ LT [x(t)] = LT [e- ^ {at} u(t)] = {1 \ over S + a} $

$ Re {} \ gt -a $

$ ROC:Re {s} \ gt> -a $

Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$

$ LT [x(t)] = LT [e ^ {at} u(t)] = {1 \ over Sa} $

$ Re {s} <a $

$ ROC:Re {s} <a $

Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$

$ LT [x(t)] = LT [e ^ {-at} u(t)+ e ^ {at} u(-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $

$ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $の場合

$ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $

上の図を参照すると、組み合わせ領域は–aからaまでです。したがって、

$ ROC:-a <Re {s} <a $

因果関係と安定性

  • システムが因果関係を持つためには、その伝達関数のすべての極がs平面の右半分である必要があります。

  • システムは、その伝達関数のすべての極がs平面の左半分にあるときに安定していると言われます。

  • 伝達関数の少なくとも1つの極がs平面の右半分にシフトすると、システムは不安定であると言われます。

  • システムは、その伝達関数の少なくとも1つの極がs平面のjω軸上にある場合、わずかに安定していると言われます。

基本機能のROC

f(t) F(s) ROC
$ u(t)$ $$ {1 \ over s} $$ ROC:Re {s}> 0
$ t \、u(t)$ $$ {1 \ over s ^ 2} $$ ROC:Re {s}> 0
$ t ^ n \、u(t)$ $$ {n!\ over s ^ {n + 1}} $$ ROC:Re {s}> 0
$ e ^ {at} \、u(t)$ $$ {1 \ over sa} $$ ROC:Re {s}> a
$ e ^ {-at} \、u(t)$ $$ {1 \ over s + a} $$ ROC:Re {s}> -a
$ e ^ {at} \、u(t)$ $$-{1 \ over sa} $$ ROC:Re {s} <a
$ e ^ {-at} \、u(-t)$ $$-{1 \ over s + a} $$ ROC:Re {s} <-a
$ t \、e ^ {at} \、u(t)$ $$ {1 \ over(sa)^ 2} $$ ROC:Re {s}> a
$ t ^ {n} e ^ {at} \、u(t)$ $$ {n!\ over(sa)^ {n + 1}} $$ ROC:Re {s}> a
$ t \、e ^ {-at} \、u(t)$ $$ {1 \ over(s + a)^ 2} $$ ROC:Re {s}> -a
$ t ^ n \、e ^ {-at} \、u(t)$ $$ {n!\ over(s + a)^ {n + 1}} $$ ROC:Re {s}> -a
$ t \、e ^ {at} \、u(-t)$ $$-{1 \ over(sa)^ 2} $$ ROC:Re {s} <a
$ t ^ n \、e ^ {at} \、u(-t)$ $$-{n!\ over(sa)^ {n + 1}} $$ ROC:Re {s} <a
$ t \、e ^ {-at} \、u(-t)$ $$-{1 \ over(s + a)^ 2} $$ ROC:Re {s} <-a
$ t ^ n \、e ^ {-at} \、u(-t)$ $$-{n!\ over(s + a)^ {n + 1}} $$ ROC:Re {s} <-a
$ e ^ {-at} \ cos \、bt $ $$ {s + a \ over(s + a)^ 2 + b ^ 2} $$
$ e ^ {-at} \ sin \、bt $ $$ {b \ over(s + a)^ 2 + b ^ 2} $$