Z変換プロパティ
Z変換には次のプロパティがあります。
線形性プロパティ
$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合
および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$
次に、線形性プロパティは次のように述べています
$ a \、x(n)+ b \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} a \、X(Z)+ b \、Y(Z)$
タイムシフトプロパティ
$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合
次に、タイムシフトプロパティは次のように述べています
$ x(nm)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} z ^ {-m} X(Z)$
指数シーケンスプロパティによる乗算
$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合
次に、指数シーケンスプロパティを乗算すると、次のようになります。
$ a ^ n \、。x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z / a)$
時間反転プロパティ
$ \の場合、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$
次に、時間反転プロパティは次のように述べています
$ x(-n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(1 / Z)$
Zドメインの微分またはnプロパティによる乗算
$ \の場合、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$
次に、nによる乗算またはzドメインプロパティの微分は、
$ n ^ kx(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} [-1] ^ kz ^ k {d ^ k X(Z)\ over dZ ^ K} $
畳み込みプロパティ
$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合
および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$
次に、畳み込みプロパティは次のように述べています
$ x(n)* y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$
相関プロパティ
$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合
および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$
次に、相関プロパティは次のように述べています
$ x(n)\ otimes y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z ^ {-1})$
初期値と最終値の定理
z変換の初期値と最終値の定理は、因果信号に対して定義されます。
初期値の定理
因果信号x(n)の場合、初期値の定理は次のように述べています。
$ x(0)= \ lim_ {z \ to \ infty}X(z)$
これは、逆z変換を行わずに信号の初期値を見つけるために使用されます
最終値の定理
因果信号x(n)の場合、最終値の定理は次のように述べています。
$ x(\ infty)= \ lim_ {z \ to 1} [z-1]X(z)$
これは、逆z変換を行わずに信号の最終値を見つけるために使用されます。
Z変換の収束領域(ROC)
z変換が収束するzの変動範囲は、z変換の収束領域と呼ばれます。
Z変換のROCの特性
z変換のROCは、z平面の円で示されます。
ROCには極が含まれていません。
x(n)が有限期間の因果シーケンスまたは右側のシーケンスである場合、ROCはz = 0を除くz平面全体です。
x(n)が有限期間の非因果的シーケンスまたは左側のシーケンスである場合、ROCはz =∞を除いてz平面全体です。
x(n)が無限持続時間の因果シーケンスである場合、ROCは半径aie | z |の円の外側にあります。> a。
x(n)が無限の持続時間の非因果的シーケンスである場合、ROCは半径aie | z |の円の内部です。<a。
x(n)が有限期間の両面シーケンスである場合、ROCはz = 0およびz =∞を除いてz平面全体です。
ROCの概念は、次の例で説明できます。
Example 1: $ a ^ nu [n] + a ^ {-} nu [-n-1] $のz変換とROCを見つけます
$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ {-n} u [-n-1]] = {Z \ over Za} + {Z \ over Z {-1 \ over a}} $
$$ ROC:| z | \ gt a \ quad \ quad ROC:| z | \ lt {1 \ over a} $$
ROCのプロットには、aがわからないため、> 1とa <1の2つの条件があります。
この場合、ROCの組み合わせはありません。
ここで、ROCの組み合わせは$ a \ lt | z |からです。\ lt {1 \ over a} $
したがって、この問題では、a <1のときにz変換が可能です。
因果関係と安定性
離散時間LTIシステムの因果条件は次のとおりです。
離散時間LTIシステムは、次の場合に因果関係があります。
ROCは最も外側のポールの外側にあります。
伝達関数H [Z]では、分子の次数を分母の次数より大きくすることはできません。
離散時間LTIシステムの安定条件
離散時間LTIシステムは、次の場合に安定しています。
そのシステム関数H [Z]には、単位円| z | = 1が含まれます。
伝達関数のすべての極は、単位円| z | = 1の内側にあります。
基本信号のZ変換
x(t) | X [Z] |
---|---|
$ \ delta $ | 1 |
$ u(n)$ | $ {Z \ over Z-1} $ |
$ u(-n-1)$ | $-{Z \ over Z-1} $ |
$ \ delta(nm)$ | $ z ^ {-m} $ |
$ a ^ nu [n] $ | $ {Z \ over Za} $ |
$ a ^ nu [-n-1] $ | $-{Z \ over Za} $ |
$ n \、a ^ nu [n] $ | $ {aZ \ over | Za | ^ 2} $ |
$ n \、a ^ nu [-n-1] $ | $-{aZ \ over | Za | ^ 2} $ |
$ a ^ n \ cos \ omega nu [n] $ | $ {Z ^ 2-aZ \ cos \ omega \ over Z ^ 2-2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $ |
$ a ^ n \ sin \ omega nu [n] $ | $ {aZ \ sin \ omega \ over Z ^ 2 -2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $ |