Z変換プロパティ

Z変換には次のプロパティがあります。

線形性プロパティ

$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合

および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

次に、線形性プロパティは次のように述べています

$ a \、x(n)+ b \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} a \、X(Z)+ b \、Y(Z)$


タイムシフトプロパティ

$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合

次に、タイムシフトプロパティは次のように述べています

$ x(nm)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} z ^ {-m} X(Z)$

指数シーケンスプロパティによる乗算


$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合

次に、指数シーケンスプロパティを乗算すると、次のようになります。

$ a ^ n \、。x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z / a)$


時間反転プロパティ

$ \の場合、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

次に、時間反転プロパティは次のように述べています

$ x(-n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(1 / Z)$


Zドメインの微分またはnプロパティによる乗算

$ \の場合、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$

次に、nによる乗算またはzドメインプロパティの微分は、

$ n ^ kx(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} [-1] ^ kz ^ k {d ^ k X(Z)\ over dZ ^ K} $


畳み込みプロパティ

$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合

および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

次に、畳み込みプロパティは次のように述べています

$ x(n)* y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$


相関プロパティ

$ \、x(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z)$の場合

および$ \、y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y(Z)$

次に、相関プロパティは次のように述べています

$ x(n)\ otimes y(n)\ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X(Z).Y(Z ^ {-1})$


初期値と最終値の定理

z変換の初期値と最終値の定理は、因果信号に対して定義されます。

初期値の定理

因果信号x(n)の場合、初期値の定理は次のように述べています。

$ x(0)= \ lim_ {z \ to \ infty}⁡X(z)$

これは、逆z変換を行わずに信号の初期値を見つけるために使用されます

最終値の定理

因果信号x(n)の場合、最終値の定理は次のように述べています。

$ x(\ infty)= \ lim_ {z \ to 1} [z-1]⁡X(z)$

これは、逆z変換を行わずに信号の最終値を見つけるために使用されます。

Z変換の収束領域(ROC)

z変換が収束するzの変動範囲は、z変換の収束領域と呼ばれます。

Z変換のROCの特性

  • z変換のROCは、z平面の円で示されます。

  • ROCには極が含まれていません。

  • x(n)が有限期間の因果シーケンスまたは右側のシーケンスである場合、ROCはz = 0を除くz平面全体です。

  • x(n)が有限期間の非因果的シーケンスまたは左側のシーケンスである場合、ROCはz =∞を除いてz平面全体です。

  • x(n)が無限持続時間の因果シーケンスである場合、ROCは半径aie | z |の円の外側にあります。> a。

  • x(n)が無限の持続時間の非因果的シーケンスである場合、ROCは半径aie | z |の円の内部です。<a。

  • x(n)が有限期間の両面シーケンスである場合、ROCはz = 0およびz =∞を除いてz平面全体です。

ROCの概念は、次の例で説明できます。

Example 1: $ a ^ nu [n] + a ^ {-} nu [-n-1] $のz変換とROCを見つけます

$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ {-n} u [-n-1]] = {Z \ over Za} + {Z \ over Z {-1 \ over a}} $

$$ ROC:| z | \ gt a \ quad \ quad ROC:| z | \ lt {1 \ over a} $$

ROCのプロットには、aがわからないため、> 1とa <1の2つの条件があります。

この場合、ROCの組み合わせはありません。

ここで、ROCの組み合わせは$ a \ lt | z |からです。\ lt {1 \ over a} $

したがって、この問題では、a <1のときにz変換が可能です。

因果関係と安定性

離散時間LTIシステムの因果条件は次のとおりです。

離散時間LTIシステムは、次の場合に因果関係があります。

  • ROCは最も外側のポールの外側にあります。

  • 伝達関数H [Z]では、分子の次数を分母の次数より大きくすることはできません。

離散時間LTIシステムの安定条件

離散時間LTIシステムは、次の場合に安定しています。

  • そのシステム関数H [Z]には、単位円| z | = 1が含まれます。

  • 伝達関数のすべての極は、単位円| z | = 1の内側にあります。

基本信号のZ変換

x(t) X [Z]
$ \ delta $ 1
$ u(n)$ $ {Z \ over Z-1} $
$ u(-n-1)$ $-{Z \ over Z-1} $
$ \ delta(nm)$ $ z ^ {-m} $
$ a ^ nu [n] $ $ {Z \ over Za} $
$ a ^ nu [-n-1] $ $-{Z \ over Za} $
$ n \、a ^ nu [n] $ $ {aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ n \、a ^ nu [-n-1] $ $-{aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ a ^ n \ cos \ omega nu [n] $ $ {Z ^ 2-aZ \ cos \ omega \ over Z ^ 2-2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $
$ a ^ n \ sin \ omega nu [n] $ $ {aZ \ sin \ omega \ over Z ^ 2 -2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $