フーリエ級数タイプ

三角関数フーリエシリーズ（TFS）

$ \ sin n \ omega_0 t $と$ \ sin m \ omega_0 t $は、区間$（t_0、t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}）$で直交しています。したがって、$ \ sin \ omega_0 t、\、\ sin 2 \ omega_0 t $は直交集合を形成します。このコサインセットもサインセットに直交しているため、このセットは{$ \ cos n \ omega_0 t $}なしでは完成しません。したがって、このセットを完了するには、コサイン項とサイン項の両方を含める必要があります。これで、完全な直交セットにすべての余弦項と正弦項が含まれます。つまり、{$ \ sin n \ omega_0 t、\、\ cos n \ omega_0 t $}ここで、n = 0、1、2 .. ..

$ \したがって$区間$（t_0、t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}）$内の任意の関数x（t）は、次のように表すことができます。

$$ x（t）= a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \cos⁡1\ omega_0 t + a_2 \cos2⁡\ omega_0t + ... + a_n \cos⁡n\ omega_0 t + ... $$

$$ + b_0 \sin⁡0\ omega_0 t + b_1 \sin⁡1\ omega_0 t + ... + b_n \sin⁡n\ omega_0 t + ... $$

$$ = a_0 + a_1 \cos⁡1\ omega_0 t + a_2 \cos2⁡\ omega_0 t + ... + a_n \cos⁡n\ omega_0 t + ... $$

$$ + b_1 \sin⁡1\ omega_0 t + ... + b_n \sin⁡n\ omega_0 t + ... $$

$$ \したがってx（t）= a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty}（a_n \cos⁡n\ omega_0 t + b_n \sin⁡n\ omega_0 t）\ quad（t_0 <t <t_0 + T）$$

上記の式は、x（t）の三角関数フーリエ系列表現を表しています。

$$ \ text {Where} \、a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）・1dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ over T}・\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）dt $$

$$ a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）・\cos⁡n\ omega_0 t \、dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \、dt} $$

$$ b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）・\ sin n \ omega_0 t \、dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \、dt} $$

$$ \ text {Here} \、\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \、dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \、dt = {T \ over 2} $$

$$ \したがって、a_n = {2 \ over T}・\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）・\cos⁡n\ omega_0 t \、dt $$

$$ b_n = {2 \ over T}・\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x（t）・\ sin n \ omega_0 t \、dt $$

指数フーリエ級数（EFS）

区間$（t_0、t_0）にわたって直交する複素指数関数のセット$ \ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \}（n = 0、\ pm1、\ pm2 ...）$について考えてみます。 + T）$。ここで、$ T = {2 \ pi \ over \ omega_0} $。これは完全なセットであるため、以下に示すように任意の関数f（t）を表すことができます。

$ f（t）= F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $

$ \ quad \ quad \、\、F _ {-1} e ^ {-j \ omega_0 t} + F _ {-2} e ^ {-j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {-n} e ^ {-jn \ omega_0 t} + ... $

$$ \したがって、f（t）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad（t_0 <t <t_0 + T）....。 ..（1）$$

式1は、区間（t ₀、t ₀ + T）にわたる信号f（t）の指数フーリエ級数表現を表します。フーリエ係数は次のように与えられます。

$$ F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f（t）（e ^ {jn \ omega_0 t}）^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t}（e ^ {jn \ omega_0 t}）^ * dt} $$

$$ \ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {-jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \、\、= {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \、dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \したがって、F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

三角関数と指数フーリエ級数の関係

周期信号x（t）について考えてみます。TFSとEFSの表現をそれぞれ以下に示します。

$ x（t）= a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}（a_n \cos⁡n\ omega_0 t + b_n \sin⁡n\ omega_0 t）... ...（1）$

$ x（t）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} $

$ \ quad \、\、\、= F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ {-1} e ^ {-j \ omega_0 t} + F _ {-2} e ^ {-j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {-n} e ^ {-jn \ omega_0 t} + ... $

$ = F_0 + F_1（\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t）+ F_2（cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t）+ ... + F_n（\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t）+ ... + F _ {-1}（\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t）+ F _ {-2}（\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t） + ... + F _ {-n}（\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t）+ ... $

$ = F_0 +（F_1 + F _ {-1}）\ cos \ omega_0 t +（F_2 + F _ {-2}）\ cos2 \ omega_0 t + ... + j（F_1-F _ {-1}）\ sin \ omega_0 t + j（F_2-F _ {-2}）\ sin2 \ omega_0 t + ... $

$ \したがって、x（t）= F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}（（F_n + F _ {-n}）\ cos n \ omega_0 t + j（F_n-F _ {-n}）\ sin n \ omega_0 t）... ...（2）$

式1と2を比較してください。

$ a_0 = F_0 $

$ a_n = F_n + F _ {-n} $

$ b_n = j（F_n-F _ {-n}）$

同様に、

$ F_n = \ frac12（a_n --jb_n）$

$ F _ {-n} = \ frac12（a_n + jb_n）$