信号サンプリング技術

サンプリング手法には次の3つのタイプがあります。

• インパルスサンプリング。

• 自然なサンプリング。

• フラットトップサンプリング。

インパルスサンプリング

インパルスサンプリングは、入力信号x（t）に周期「T」のインパルス列$ \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（t-nT）$を乗算することで実行できます。ここで、インパルスの振幅は、入力信号x（t）の振幅に対して変化します。サンプラーの出力は次の式で与えられます。

$ y（t）= x（t）×$インパルストレイン

$ = x（t）×\ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（t-nT）$

$ y（t）= y _ {\ delta}（t）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（nt）\ delta（t-nT）\、... \、.. .. 1 $

サンプリングされた信号のスペクトルを取得するには、両側で式1のフーリエ変換を検討します。

$ Y（\ omega）= {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} X（\ omega-n \ omega_s）$

これは、理想的なサンプリングまたはインパルスサンプリングと呼ばれます。パルス幅をゼロにすることはできず、インパルス列を生成することは実際には不可能であるため、これを実際に使用することはできません。

自然なサンプリング

自然サンプリングはインパルスサンプリングと似ていますが、インパルス列が周期Tのパルス列に置き換えられます。つまり、入力信号x（t）をパルス列$ \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（以下に示すようにt-nT）$

サンプラーの出力は

$ y（t）= x（t）\ times \ text {pulse train} $

$ = x（t）\ times p（t）$

$ = x（t）\ times \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（t-nT）\、... \、...（1）$

p（t）の指数フーリエ級数表現は次のように与えることができます。

$ p（t）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_s t} \、... \、...（2）$

$ = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {j 2 \ pi nf_s t} $

ここで、$ F_n = {1 \ over T} \ int _ {-T \ over 2} ^ {T \ over 2} p（t）e ^ {-jn \ omega_s t} dt $

$ = {1 \ over TP}（n \ omega_s）$

F置換_N式2の値を

$ \したがって、p（t）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T} P（n \ omega_s）e ^ {jn \ omega_s t} $

$ = {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）e ^ {jn \ omega_s t} $

式1にp（t）を代入します

$ y（t）= x（t）\ times p（t）$

$ = x（t）\ times {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）\、e ^ {jn \ omega_s t} $

$ y（t）= {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）\、x（t）\、e ^ {jn \ omega_s t} $

サンプリングされた信号のスペクトルを取得するには、両側のフーリエ変換を検討してください。

$ FT \、[y（t）] = FT [{1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）\、x（t）\、e ^ { jn \ omega_s t}] $

$ = {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）\、FT \、[x（t）\、e ^ {jn \ omega_s t}] $

周波数シフト特性による

$ FT \、[x（t）\、e ^ {jn \ omega_s t}] = X [\ omega-n \ omega_s] $

$ \したがって\、Y [\ omega] = {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} P（n \ omega_s）\、X [\ omega-n \ omega_s] $

フラットトップサンプリング

送信中、ノイズは送信パルスの上部に導入されますが、パルスがフラットトップの形式である場合は簡単に除去できます。ここでは、サンプルの上部は平らです。つまり、振幅は一定です。したがって、フラットトップサンプリングまたは実用サンプリングと呼ばれます。フラットトップサンプリングは、サンプルアンドホールド回路を利用しています。

理論的には、サンプリングされた信号は、理想的にサンプリングされた信号の矩形パルスP（t）との畳み込みによって得られるY言う_δ図に示すように、（t）を：

つまり、$ y（t）= p（t）\ times y_ \ delta（t）\、... \、...（1）$

サンプリングされたスペクトルを取得するには、式1の両側でフーリエ変換を検討します。

$ Y [\ omega] = FT \、[P（t）\ times y_ \ delta（t）] $

畳み込み特性の知識により、

$ Y [\ omega] = P（\ omega）\、Y_ \ delta（\ omega）$

ここで$ P（\ omega）= T Sa（{\ omega T \ over 2}）= 2 \ sin \ omega T / \ omega $

ナイキストレート

これは、信号をサンプルに変換し、歪みなしに復元できる最小のサンプリングレートです。

ナイキスト・レートf _N = 2F _Mヘルツ

ナイキスト間隔= $ {1 \ over fN} $ = $ {1 \ over 2fm} $秒。

バンドパス信号のサンプリング

範囲外の周波数Fのためのバンドパス信号の場合、帯域通過信号Xのスペクトル[ω] = 0 ₁ ≤F≤F ₂。周波数f _1は、常にゼロよりも大きいです。さらに、f _s > 2f _2の場合、エイリアシング効果はありません。ただし、2つの欠点があります。

• サンプリングレートは、fの割合が大きい₂。これには実際的な制限があります。

• サンプリングされた信号スペクトルにはスペクトルギャップがあります。

これを克服するために、バンドは、定理は、入力信号x（t）は、そのサンプルに変換することができ、周波数Fサンプリング時歪みなしバック回収することができると述べて通過_S <2F ₂。

また、

$$ f_s = {1 \ over T} = {2f_2 \ over m} $$

ここで、mは最大の整数<$ {f_2 \ over B} $

Bは信号の帯域幅です。f ₂ = KBの場合、

$$ f_s = {1 \ over T} = {2KB \ over m} $$

帯域幅2fのバンドパス信号に対する_Mおよび最小サンプリングレートf _S = 2 B = 4F _M、

サンプリングされた信号のスペクトルは、$ Y [\ omega] = {1 \ over T} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \、X [\ omega-2nB] $で与えられます。