フーリエ級数
Jean Baptiste Joseph Fourier,フランスの数学者および物理学者。フランスのオーセールで生まれました。彼はフーリエ級数、フーリエ変換、およびそれらの熱伝達と振動の問題への応用を初期化しました。フーリエ級数、フーリエ変換、フーリエの法則は彼の名誉にちなんで名付けられました。
フーリエ級数
周期信号x（t）を表すために、フーリエはフーリエ級数と呼ばれる式を開発しました。これは、正弦と余弦または指数の無限の合計に関するものです。フーリエ級数は直交条件を使用します。
連続時間周期信号のフーリエ級数表現
信号がx（t）= x（t + T）またはx（n）= x（n + N）の条件を満たす場合、信号は周期的であると言われます。
ここで、T =基本期間、
ω 0 =基本周波数=2π/ T
2つの基本的な周期信号があります。
$ x（t）= \ cos \ omega_0t $（正弦波）＆
$ x（t）= e ^ {j \ omega_0 t} $（複素指数）
これらの2つの信号は、周期$ T = 2 \ pi / \ omega_0 $で周期的です。
調和的に関連する複素指数のセットは、{$ \ phi_k（t）$}として表すことができます。
$$ {\ phi_k（t）} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk（{2 \ pi \ over T}）t} \} \ text {where} \、k = 0 \ pm 1、\ pm 2 ..n \、\、\、.....（1）$$
これらの信号はすべて周期Tで周期的です
関数x（t）とnの直交信号空間近似によれば、相互に直交する関数は次の式で与えられます。
$$ x（t）= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} .....（2）$$
$$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$
ここで、$ a_k $ =フーリエ係数=近似係数。
この信号x（t）も周期Tで周期的です。
式2は、周期信号x（t）のフーリエ級数表現を表しています。
k = 0という項は定数です。
基本周波数$ \ omega_0 $を持つ$ k = \ pm1 $という用語は、第1高調波と呼ばれます。
用語$ K = \ PM2 $基本周波数$ 2 \ omega_0 $を持つが、2と呼ばれているND高調波、およびように...
基本周波数$ n \ omega0 $を持つ$ k =±n $という用語は、n次高調波と呼ばれます。
フーリエ係数の導出
$ x（t）= \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ......（1）$
両側で$ e ^ {-jn \ omega_0 t} $を掛けます。次に
$$ x（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t}。e ^ {-jn \ omega_0 t} $$
両側で積分を検討してください。
$$ \ int_ {0} ^ {T} x（t）e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t}。e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \、\、= \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j（kn）\ omega_0 t} 。dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} x（t）e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j（kn）\ omega_0 t} dt。\、\、.....（2）$$
オイラーの公式により、
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j（kn）\ omega_0 t} dt。= \ int_ {0} ^ {T} \ cos（kn）\ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin（kn）\ omega_0t \、dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j（kn）\ omega_0 t} dt。= \ left \ {\ begin {array} {ll} T＆\ quad k = n \\ 0＆\ quad k \ neq n \ end {array} \ right。$$
したがって、式2では、k = nを除いて、kのすべての値の積分はゼロです。式2にk = nを入れます。
$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x（t）e ^ {-jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$
$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$
nをkに置き換えます。
$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$
$$ \したがって、x（t）= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j（kn）\ omega_0 t} $$
$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$