フーリエ級数

Jean Baptiste Joseph Fourier,フランスの数学者および物理学者。フランスのオーセールで生まれました。彼はフーリエ級数、フーリエ変換、およびそれらの熱伝達と振動の問題への応用を初期化しました。フーリエ級数、フーリエ変換、フーリエの法則は彼の名誉にちなんで名付けられました。

ジャン・バプティストジョセフ・フーリエ(1768年3月21日– 1830年5月16日)

フーリエ級数

周期信号x(t)を表すために、フーリエはフーリエ級数と呼ばれる式を開発しました。これは、正弦と余弦または指数の無限の合計に関するものです。フーリエ級数は直交条件を使用します。

連続時間周期信号のフーリエ級数表現

信号がx(t)= x(t + T)またはx(n)= x(n + N)の条件を満たす場合、信号は周期的であると言われます。

ここで、T =基本期間、

    ω 0 =基本周波数=2π/ T

2つの基本的な周期信号があります。

$ x(t)= \ cos \ omega_0t $(正弦波)&

$ x(t)= e ^ {j \ omega_0 t} $(複素指数)

これらの2つの信号は、周期$ T = 2 \ pi / \ omega_0 $で周期的です。

調和的に関連する複素指数のセットは、{$ \ phi_k(t)$}として表すことができます。

$$ {\ phi_k(t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk({2 \ pi \ over T})t} \} \ text {where} \、k = 0 \ pm 1、\ pm 2 ..n \、\、\、.....(1)$$

これらの信号はすべて周期Tで周期的です

関数x(t)とnの直交信号空間近似によれば、相互に直交する関数は次の式で与えられます。

$$ x(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} .....(2)$$

$$ = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

ここで、$ a_k $ =フーリエ係数=近似係数。

この信号x(t)も周期Tで周期的です。

式2は、周期信号x(t)のフーリエ級数表現を表しています。

k = 0という項は定数です。

基本周波数$ \ omega_0 $を持つ$ k = \ pm1 $という用語は、第1高調波と呼ばれます。

用語$ K = \ PM2 $基本周波数$ 2 \ omega_0 $を持つが、2と呼ばれているND高調波、およびように...

基本周波数$ n \ omega0 $を持つ$ k =±n $という用語は、n高調波と呼ばれます。

フーリエ係数の導出

$ x(t)= \ Sigma_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ......(1)$

両側で$ e ^ {-jn \ omega_0 t} $を掛けます。次に

$$ x(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t}。e ^ {-jn \ omega_0 t} $$

両側で積分を検討してください。

$$ \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t}。e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \、\、= \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j(kn)\ omega_0 t} 。dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。\、\、.....(2)$$

オイラーの公式により、

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。= \ int_ {0} ^ {T} \ cos(kn)\ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin(kn)\ omega_0t \、dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j(kn)\ omega_0 t} dt。= \ left \ {\ begin {array} {ll} T&\ quad k = n \\ 0&\ quad k \ neq n \ end {array} \ right。$$

したがって、式2では、k = nを除いて、kのすべての値の積分はゼロです。式2にk = nを入れます。

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x(t)e ^ {-jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jn \ omega_0 t} dt $$

nをkに置き換えます。

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \したがって、x(t)= \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j(kn)\ omega_0 t} $$

$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {-jk \ omega_0 t} dt $$