信号分析

ベクトルと信号の類似性

ベクトルと信号の間には完全な類似性があります。

ベクター

ベクトルには大きさと方向が含まれます。ベクトルの名前は太字で示され、その大きさは明るい面のタイプで示されます。

Example:V 2つのベクトルVの大きさVにベクトル検討されている₁及びV _2を以下の図に示すように。Vの成分ましょう₁ Vと共に_2はCで与えられる₁₂ V ₂。ベクトルVの成分₁のベクトルVと一緒に_2はVの端部から垂直を取ることによって得られることができる₁ベクトルVに₂図に示すように：

ベクトルV _1は、ベクトルVで表すことができる₂

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

ここで、Veはエラーベクトルです。

しかし、これは、ベクトルV表現する唯一の方法ではありません_1をVの面で₂。別の可能性は次のとおりです。

V ₁ = C ₁ V ₂ + V _e1

V ₂ = C ₂ V ₂ + V _e2

大きなコンポーネント値の場合、エラー信号は最小になります。C ₁₂ = 0の場合、2つの信号は直交していると言われます。

2つのベクトルの内積

V ₁。V ₂ = V ₁・V ₂ cosθと

θ= V1とV2の間の角度

V ₁。V ₂ = V ₂ .V ₁

Vのコンポーネント₁ ALOG _N V ₂ = V ₁ V2 $以上のCosθ= $ V1.V2 \

図から、Vの成分₁ ALOG _N V ₂ = C ₁₂ V ₂

$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \、V_2 $$

$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ over V_2} $$

信号

直交性の概念は信号に適用できます。私たちは、F 2つの信号を考える₁（t）とfの₂（t）とします。ベクトルと同様に、f ₂（t）の観点からf ₁（t）を次のように近似できます。

f ₁（t）= C ₁₂ f ₂（t）+ f _e（t）for（t ₁ <t <t ₂）

$ \ Rightarrow $ f _e（t）= f ₁（t）– C ₁₂ f ₂（t）

誤差を最小化する1つの可能な方法は、間隔Tにわたって積分された₁のT ₂。

$$ {1 \ over {t_2 --t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）] dt $$

$$ {1 \ over {t_2 --t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1（t）-C_ {12} f_2（t）] dt $$

ただし、この手順でもエラーが大幅に軽減されるわけではありません。これは、誤差の2乗関数を使用することで修正できます。

$ \ varepsilon = {1 \ over {t_2 --t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）] ^ 2 dt $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 --t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）-C_ {12} f_2] ^ 2 dt $

ここで、εはエラー信号の平均二乗値です。Cの値が₁₂のエラーを最小限に抑え、あなたは$ {D \ dC_ {12}を超えるvarepsilon \} = 0 $を計算する必要があります

$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 --t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1（t）-C_ {12} f_2（t）] ^ 2 dt] = 0 $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 --t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2（t）-{d \ over dC_ {12} } 2f_1（t）C_ {12} f_2（t）+ {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2}（t）C_ {12} ^ 2] dt = 0 $

C12項を持たない項の導関数はゼロです。

$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} -2f_1（t）f_2（t）dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2}（t）] dt = 0 $

$ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2}（t ）dt}} $成分がゼロの場合、2つの信号は直交していると言われます。

C ₁₂ = 0を入力して、直交性の条件を取得します。

0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2}（t）dt}} $

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt = 0 $$

直交ベクトル空間

直交ベクトルの完全なセットは、直交ベクトル空間と呼ばれます。以下に示すような3次元ベクトル空間を考えてみましょう。

点（X ₁、Y ₁、Z ₁）にあるベクトルAについて考えます。X、Y、Z軸の方向にそれぞれ3つの単位ベクトル（V _X、V _Y、V _Z）を考えます。これらの単位ベクトルは相互に直交しているため、

$$ V_X。V_X = V_Y。V_Y = V_Z。V_Z = 1 $$

$$ V_X。V_Y = V_Y。V_Z = V_Z。V_X = 0 $$

上記の条件は次のように書くことができます

$$ V_a。V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1＆\ quad a = b \\ 0＆\ quad a \ neq b \ end {array} \ right。$$

ベクトルAは、その成分と単位ベクトルの観点から次のように表すことができます。

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................（1）$

この3次元空間内の任意のベクトルは、これらの3つの単位ベクトルのみで表すことができます。

n次元空間を考慮すると、その空間内の任意のベクトルAは次のように表すことができます。

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N .....（2）$

単位ベクトルの大きさはどのベクトルAでも1であるため

x軸に沿ったAの成分= AV _X

Y軸に沿ったAの成分= AV _Y

Z軸に沿ったAの成分= AV _Z

同様に、n次元空間の場合、あるG軸に沿ったAの成分

$ = A.VG ...............（3）$

式3を式2に置き換えます。

$ \ Rightarrow CG =（X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N）V_G $

$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $

$ = G_1 \、\、\、\、\、\ text {since} V_G V_G = 1 $

$ If V_G V_G \ neq 1 \、\、\ text {ie} V_G V_G = k $

$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $

$ G_1 = {（AV_G）\ over K} $

直交信号空間

私たちは、nの互いに直交する関数の集合X考える₁（T）、X ₂（T）... X _nは間隔トン以上（t）が₁にT _2を。これらの関数は互いに直交しているため、任意の2つの信号x _j（t）、x _k（t）は直交性条件を満たす必要があります。すなわち

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j（t）x_k（t）dt = 0 \、\、\、\ text {where} \、j \ neq k $$

$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2}（t）dt = k_k $$

関数f（t）をとると、相互に直交する信号に沿って成分を追加することにより、この直交信号空間で近似できます。

$ \、\、\、f（t）= C_1x_1（t）+ C_2x_2（t）+ ... + C_nx_n（t）+ f_e（t）$

$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r（t）$

$ \、\、\、f（t）= f（t）-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r（t）$

平均平方誤差$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 --t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）] ^ 2 dt $

$$ = {1 \ over t_2 --t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t]-\ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r（t）] ^ 2 dt $$

平均二乗誤差を最小化するコンポーネントは、次の式で見つけることができます。

$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$

$ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $を考えてみましょう

$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 --t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f（t）-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r（t）] ^ 2 dt] = 0 $$

Cの含まれていないすべての用語_kはゼロです。つまり、合計すると、r = kの項が残り、他のすべての項はゼロになります。

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} -2 f（t）x_k（t）dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2（t）] dt = 0 $$

$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f（t）x_k（t）dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2（t）dt}} $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f（t）x_k（t）dt = C_kK_k $$

平均二乗誤差

誤差関数fの二乗の平均_E（t）は平均二乗誤差と呼ばれています。ε（イプシロン）で表されます。

。

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 --t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）] ^ 2dt $

$ \、\、\、\、= {1 \ over t_2 --t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e（t）-\ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r（t）] ^ 2 dt $

$ \、\、\、\、= {1 \ over t_2 --t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2（t）] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2（t）dt-2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r（t）f（t）dt $

$ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2（t）dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r（t）f（d）dt = C_r ^ 2 K_r $

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 --t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2（t）] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r-2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \、\、\、\、= {1 \ over t_2 --t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2（t）] dt- \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \、\したがって\ varepsilon = {1 \ over t_2 --t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2（t）] dt +（C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + .. .. + C_n ^ 2 K_n）] $

上記の式は、平均二乗誤差を評価するために使用されます。

直交関数の閉じた完全なセット

私たちは、nの互いに直交する関数の集合X考える₁（T）、X ₂（T）... X _nは間隔トン以上（t）が₁にT _2を。$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f（t）x_k（t）dt = 0 $の条件を満たす関数f（t）が存在しない場合、これはクローズドセットと呼ばれます。

この関数が方程式$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f（t）x_k（t）dt = 0 \、\、\ text {for} \、k = 1,2、.. $を満たしている場合、f （t）は、直交セットのすべての関数に直交していると言われます。このセットはf（t）なしでは不完全です。f（t）を含めると、閉じて完全にセットされます。

f（t）は、相互に直交する信号に沿って成分を追加することにより、この直交セットで近似できます。

$$ f（t）= C_1 x_1（t）+ C_2 x_2（t）+ ... + C_n x_n（t）+ f_e（t）$$

無限級数$ C_1 x_1（t）+ C_2 x_2（t）+ ... + C_n x_n（t）$がf（t）に収束する場合、平均二乗誤差はゼロです。