フーリエ変換のプロパティ

フーリエ変換のプロパティは次のとおりです。

線形性プロパティ

$ \ text {If} \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

$ \ text {＆} \、\、y（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y（\ omega）$

次に、線形性プロパティは次のように述べています

$ ax（t）+ by（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X（\ omega）+ b Y（\ omega）$

タイムシフトプロパティ

$ \ text {If} \、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

次に、タイムシフトプロパティは次のように述べています

$ x（t-t_0）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {-j \ omega t_0} X（\ omega）$

周波数シフトプロパティ

$ \ text {If} \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

次に、周波数シフトプロパティは次のように述べています

$ e ^ {j \ omega_0t}。x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega- \ omega_0）$

時間反転プロパティ

$ \ text {If} \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

次に、時間反転プロパティは次のように述べています

$ x（-t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（-\ omega）$

タイムスケーリングプロパティ

$ \ text {If} \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

次に、時間スケーリングプロパティは次のように述べています

$ x（at）{1 \ over | \、a \、|} X {\ omega \ over a} $

差別化と統合のプロパティ

$ If \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

次に、微分プロパティは次のように述べています

$ {dx（t）\ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega。X（\ omega）$

$ {d ^ nx（t）\ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow}（j \ omega）^ n。X（\ omega）$

および統合プロパティは、

$ \ int x（t）\、dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X（\ omega）$

$ \ iiint ... \ int x（t）\、dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over（j \ omega）^ n} X（\ omega）$

乗算と畳み込みのプロパティ

$ \ text {If} \、\、x（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）$

$ \ text {＆} \、\、y（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y（\ omega）$

次に、乗算プロパティは次のように述べています

$ x（t）。y（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X（\ omega）* Y（\ omega）$

畳み込みプロパティは次のように述べています

$ x（t）* y（t）\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X（\ omega）.Y（\ omega）$