フーリエ変換のプロパティ

フーリエ変換のプロパティは次のとおりです。

線形性プロパティ

$ \ text {If} \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

$ \ text {&} \、\、y(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y(\ omega)$

次に、線形性プロパティは次のように述べています

$ ax(t)+ by(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X(\ omega)+ b Y(\ omega)$


タイムシフトプロパティ

$ \ text {If} \、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

次に、タイムシフトプロパティは次のように述べています

$ x(t-t_0)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {-j \ omega t_0} X(\ omega)$


周波数シフトプロパティ

$ \ text {If} \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

次に、周波数シフトプロパティは次のように述べています

$ e ^ {j \ omega_0t}。x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega- \ omega_0)$


時間反転プロパティ

$ \ text {If} \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

次に、時間反転プロパティは次のように述べています

$ x(-t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(-\ omega)$


タイムスケーリングプロパティ

$ \ text {If} \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

次に、時間スケーリングプロパティは次のように述べています

$ x(at){1 \ over | \、a \、|} X {\ omega \ over a} $


差別化と統合のプロパティ

$ If \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

次に、微分プロパティは次のように述べています

$ {dx(t)\ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega。X(\ omega)$

$ {d ^ nx(t)\ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow}(j \ omega)^ n。X(\ omega)$

および統合プロパティは、

$ \ int x(t)\、dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X(\ omega)$

$ \ iiint ... \ int x(t)\、dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over(j \ omega)^ n} X(\ omega)$


乗算と畳み込みのプロパティ

$ \ text {If} \、\、x(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)$

$ \ text {&} \、\、y(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y(\ omega)$

次に、乗算プロパティは次のように述べています

$ x(t)。y(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X(\ omega)* Y(\ omega)$

畳み込みプロパティは次のように述べています

$ x(t)* y(t)\ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X(\ omega).Y(\ omega)$