Z変換（ZT）

連続時間LTIシステムの分析は、z変換を使用して実行できます。これは、微分方程式を代数方程式に変換するための強力な数学ツールです。

離散時間信号x（n）の両側（両面）z変換は次のように与えられます。

$ ZT [x（n）] = X（Z）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）z ^ {-n} $

離散時間信号x（n）の片側（片側）z変換は次のように与えられます。

$ ZT [x（n）] = X（Z）= \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x（n）z ^ {-n} $

離散時間フーリエ変換（DTFT）が存在しない一部の信号には、Z変換が存在する場合があります。

Z変換と逆Z変換の概念

離散時間信号x（n）のZ変換は、X（Z）で表すことができ、次のように定義されます。

$ X（Z）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）z ^ {-n} \、... \、... \、（1）$

$ Z = re ^ {j \ omega} $の場合、式1は次のようになります。

$ X（re ^ {j \ omega}）= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）[re ^ {j \ omega}] ^ {-n} $

$ = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）[r ^ {-n}] e ^ {-j \ omega n} $

$ X（re ^ {j \ omega}）= X（Z）= FT [x（n）r ^ {-n}] \、... \、... \、（2）$

上記の式は、フーリエ変換とZ変換の関係を表しています。

$ X（Z）| _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x（n）]。$

逆Z変換

$ X（re ^ {j \ omega}）= FT [x（n）r ^ {-n}] $

$ x（n）r ^ {-n} = FT ^ {-1} [X（re ^ {j \ omega}] $

$ x（n）= r ^ n \、FT ^ {-1} [X（re ^ {j \ omega}）] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X（re {^ j \ omega}）e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X（re {^ j \ omega}）[re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \、... \、... \、（3） $

$ re ^ {j \ omega} = z $に置き換えます。

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {-1} dz $

式3に代入します。

$ 3 \、\ to \、x（n）= {1 \ over 2 \ pi} \ int \、X（z）z ^ n {1 \ over j} z ^ {-1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \、X（z）z ^ {n-1} dz $