Z変換(ZT)

連続時間LTIシステムの分析は、z変換を使用して実行できます。これは、微分方程式を代数方程式に変換するための強力な数学ツールです。

離散時間信号x(n)の両側(両面)z変換は次のように与えられます。

$ ZT [x(n)] = X(Z)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} $

離散時間信号x(n)の片側(片側)z変換は次のように与えられます。

$ ZT [x(n)] = X(Z)= \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} $

離散時間フーリエ変換(DTFT)が存在しない一部の信号には、Z変換が存在する場合があります。

Z変換と逆Z変換の概念

離散時間信号x(n)のZ変換は、X(Z)で表すことができ、次のように定義されます。

$ X(Z)= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)z ^ {-n} \、... \、... \、(1)$

$ Z = re ^ {j \ omega} $の場合、式1は次のようになります。

$ X(re ^ {j \ omega})= \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)[re ^ {j \ omega}] ^ {-n} $

$ = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x(n)[r ^ {-n}] e ^ {-j \ omega n} $

$ X(re ^ {j \ omega})= X(Z)= FT [x(n)r ^ {-n}] \、... \、... \、(2)$

上記の式は、フーリエ変換とZ変換の関係を表しています。

$ X(Z)| _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x(n)]。$

逆Z変換

$ X(re ^ {j \ omega})= FT [x(n)r ^ {-n}] $

$ x(n)r ^ {-n} = FT ^ {-1} [X(re ^ {j \ omega}] $

$ x(n)= r ^ n \、FT ^ {-1} [X(re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X(re {^ j \ omega})e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X(re {^ j \ omega})[re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \、... \、... \、(3) $

$ re ^ {j \ omega} = z $に置き換えます。

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {-1} dz $

式3に代入します。

$ 3 \、\ to \、x(n)= {1 \ over 2 \ pi} \ int \、X(z)z ^ n {1 \ over j} z ^ {-1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \、X(z)z ^ {n-1} dz $

$$ X(Z)= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \、x(n)z ^ {-n} $$ $$ x(n)= {1 \ over 2 \ pi j } \ int \、X(z)z ^ {n-1} dz $$