ヒルベルト変換

信号x（t）のヒルベルト変換は、信号のすべてのコンポーネントの位相角が$ \ pm \ text {90} ^ o $だけシフトされる変換として定義されます。

x（t）のヒルベルト変換は$ \ hat {x}（t）$で表され、次の式で与えられます。

$$ \ hat {x}（t）= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x（k）\ over tk} dk $$

逆ヒルベルト変換は次の式で与えられます。

$$ \ hat {x}（t）= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x（k）\ over tk} dk $$

x（t）、$ \ hat {x} $（t）はヒルベルト変換ペアと呼ばれます。

ヒルベルト変換のプロパティ

信号x（t）とそのヒルベルト変換$ \ hat {x} $（t）は

• 同じ振幅スペクトル。

• 同じ自己相関関数。

• エネルギースペクトル密度は、x（t）と$ \ hat {x} $（t）の両方で同じです。

• x（t）と$ \ hat {x} $（t）は直交しています。

• $ \ hat {x} $（t）のヒルベルト変換は-x（t）です

• フーリエ変換が存在する場合、エネルギーおよび電力信号に対してヒルベルト変換も存在します。