ヒルベルト変換

信号x(t)のヒルベルト変換は、信号のすべてのコンポーネントの位相角が$ \ pm \ text {90} ^ o $だけシフトされる変換として定義されます。

x(t)のヒルベルト変換は$ \ hat {x}(t)$で表され、次の式で与えられます。

$$ \ hat {x}(t)= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x(k)\ over tk} dk $$

逆ヒルベルト変換は次の式で与えられます。

$$ \ hat {x}(t)= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x(k)\ over tk} dk $$

x(t)、$ \ hat {x} $(t)はヒルベルト変換ペアと呼ばれます。

ヒルベルト変換のプロパティ

信号x(t)とそのヒルベルト変換$ \ hat {x} $(t)は

  • 同じ振幅スペクトル。

  • 同じ自己相関関数。

  • エネルギースペクトル密度は、x(t)と$ \ hat {x} $(t)の両方で同じです。

  • x(t)と$ \ hat {x} $(t)は直交しています。

  • $ \ hat {x} $(t)のヒルベルト変換は-x(t)です

  • フーリエ変換が存在する場合、エネルギーおよび電力信号に対してヒルベルト変換も存在します。