Równanie Friedmanna i modele świata
W tym rozdziale zrozumiemy, czym jest równanie Friedmanna i przestudiujemy szczegółowo modele świata dla różnych stałych krzywizny.
Równanie Friedmanna
To równanie mówi nam o rozszerzaniu się przestrzeni w jednorodnych i izotropowych modelach wszechświata.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Zostało to zmodyfikowane w kontekście General Relativity (GR) i Robertson-Walker Metric w następujący sposób.
Korzystanie z równań GR -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Gdzie kjest stałą krzywizny. W związku z tym,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Ponadto $ \ rho $ jest zastępowane gęstością energii, która obejmuje materię, promieniowanie i wszelkie inne formy energii. Ale dla celów reprezentacyjnych jest zapisywany jako $ \ rho $.
Modele światowe dla różnych stałych krzywizny
Przyjrzyjmy się teraz różnym możliwościom w zależności od wartości stałych krzywizny.
Przypadek 1: k = 1 lub Wszechświat zamknięty
W przypadku rozszerzającego się wszechświata $ da / dt> 0 $. W miarę kontynuowania ekspansji pierwszy człon na RHS powyższego równania ma postać $ a ^ {- 3} $, podczas gdy drugi człon ma postać $ a ^ {- 2} $. Kiedy te dwa składniki stają się równe, wszechświat zatrzymuje ekspansję. Następnie -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Tutaj k = 1, dlatego
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Taki wszechświat jest skończony i ma skończoną objętość. Nazywa się to Wszechświatem Zamkniętym.
Przypadek 2: k = -1 lub Open Universe
Jeśli k < 0ekspansja nigdy by się nie zatrzymała. Po pewnym czasie pierwszy termin na RHS można pominąć w porównaniu z drugim terminem.
Tutaj k = -1. Dlatego $ da / dt ∼ c $.
W tym przypadku wszechświat płynie. Taki wszechświat ma nieskończoną przestrzeń i czas. Nazywa się to otwartym wszechświatem.
Przypadek 3: k = 0 lub Flat Universe
W tym przypadku wszechświat rozszerza się w malejącym tempie. Tutaj k = 0. Dlatego
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Taki wszechświat ma nieskończoną przestrzeń i czas. Nazywa się to płaskim wszechświatem.
Punkty do zapamiętania
Równanie Friedmanna mówi nam o rozszerzaniu się przestrzeni w jednorodnych i izotropowych modelach wszechświata.
W zależności od różnych wartości stałych krzywizny, możemy mieć Wszechświat Zamknięty, Otwarty lub Płaski.