Kosmologia - wszechświat zdominowany przez materię
W tym rozdziale omówimy rozwiązania równań Friedmanna związane ze wszechświatem zdominowanym przez materię. W kosmologii, ponieważ widzimy wszystko w dużej skali, układy słoneczne, galaktyki, wszystko jest jak cząsteczki pyłu (tak to widzimy na własne oczy), możemy to nazwać wszechświatem pyłowym lub tylko wszechświatem materii.
w Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Widzimy, że istnieje presja. Dla zakurzonego wszechświataP = 0, ponieważ gęstość energii materii będzie większa niż ciśnienie promieniowania, a materia nie porusza się z relatywistyczną prędkością.
Więc równanie płynów stanie się,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: stała $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
W tym równaniu nie ma sprzecznej intuicji, ponieważ gęstość powinna być skalowana jako $ a ^ {- 3} $, ponieważ Objętość rośnie o $ a ^ 3 $.
Z ostatniej relacji możemy powiedzieć, że
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Dla obecnego wszechświata a, co jest równe a0 powinno być 1. Więc
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
W płaskim wszechświecie zdominowanym przez materię, k = 0. Zatem równanie Friedmanna stanie się:
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Rozwiązując to równanie, otrzymamy:
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Oznacza to, że wszechświat będzie wzrastał w malejącym tempie. Poniższy obraz przedstawia ekspansję Zakurzonego Wszechświata.
Jak ρ zmienia się z czasem?
Spójrz na następujące równanie -
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Wiemy, że współczynnik skali zmienia się z czasem jako $ t ^ {2/3} $. Więc,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Różnicując to, otrzymamy,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Wiemy, że Hubble Constant jest,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
To jest równanie Einstein-de sitter Universe. Jeśli chcemy obliczyć obecny wiek wszechświata,
$$ t_0 = t_ {age} = \ frac {2} {3H_0} $$
Po wstawieniu wartości $ H_0 $ dla obecnego wszechświata, otrzymamy wartość wieku wszechświata jako 9 Gyrs. Jest wieleGlobular Cluster w naszej własnej galaktyce Drogi Mlecznej, która ma więcej lat.
Chodziło o zakurzony wszechświat. Jeśli przyjmiemy, że wszechświat jest zdominowany przez promieniowanie, a nie materię, to gęstość energii promieniowania wynosi $ a ^ {- 4} $, a nie $ a ^ {- 3} $. Więcej tego dowiemy się w następnym rozdziale.
Punkty do zapamiętania
W kosmologii wszystko przypomina cząsteczki pyłu, dlatego nazywamy to wszechświatem pyłowym lub wszechświatem tylko materii.
Jeśli przyjmiemy, że wszechświat jest zdominowany przez promieniowanie, a nie materię, to gęstość energii promieniowania wynosi $ a ^ {- 4} $, a nie $ a ^ {- 3} $.