Parametr Hubble'a i współczynnik skali
W tym rozdziale omówimy parametry Hubble'a oraz współczynnik skali.
Prerequisite - Kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni, zasady kosmologiczne.
Assumption - Wszechświat jest jednorodny i izotropowy.
Stała Hubble'a z ułamkową szybkością zmiany współczynnika skali
W tej sekcji odniesiemy Stałą Hubble'a do ułamkowej szybkości Zmiany Współczynnika Skali.
Prędkość możemy zapisać w następujący sposób i uprościć.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Tutaj, v to prędkość recesji, a jest współczynnikiem skali i rp to właściwa odległość między galaktykami.
Hubble’s Empirical Formula miał charakter -
$$ v = H \ ast r_p $$
Zatem porównując powyższe dwa równania otrzymujemy -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- To nie jest stała, ponieważ współczynnik skali jest funkcją czasu. Dlatego nazywa się to parametrem Hubble'a, a nie stałą Hubble'a.
Empirycznie piszemy -
$$ H = V / D $$
Zatem z tego równania możemy wywnioskować, że od tego czasu D rośnie i V jest więc stałą H zmniejsza się wraz z upływem czasu i rozszerzaniem się wszechświata.
Równanie Friedmanna w połączeniu z modelem Robertsona-Walkera
W tej sekcji zrozumiemy, w jaki sposób równanie Friedmanna jest używane w połączeniu z modelem Robertsona-Walkera. Aby to zrozumieć, weźmy następujący obraz, który przedstawia masę testową w oddalirp z masy ciała M jako przykład.
Biorąc pod uwagę powyższy obraz, możemy wyrazić siłę jako -
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Tutaj, G jest uniwersalną stałą grawitacyjną, a ρ jest gęstością materii wewnątrz obserwowalnego wszechświata.
Teraz zakładając jednakową gęstość masy w kuli, możemy napisać -
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Używając ich z powrotem w naszym równaniu siły, otrzymujemy -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
W ten sposób możemy zapisać energię potencjalną i energię kinetyczną masy m jako -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Używając Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Ale tutaj $ r_p = ar_c $. Więc otrzymujemy -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Przy dalszym uproszczeniu otrzymujemy równanie Friedmanna,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Tutaj Ujest stała. Zauważamy również, że wszechświat, w którym obecnie żyjemy, jest zdominowany przez materię, podczas gdy gęstość energii promieniowania jest bardzo niska.
Punkty do zapamiętania
Parametr Hubble'a zmniejsza się wraz z upływem czasu i rozszerzaniem się wszechświata.
Wszechświat, w którym obecnie żyjemy, jest zdominowany przez materię, a gęstość energii promieniowania jest bardzo niska.