Kosmologia - metoda tranzytu
Metoda tranzytu (Kepler Space Telescope)służy do określenia rozmiaru. Spadek jasności gwiazdy przez planetę jest zwykle mniejszy od układu podwójnego.
F0 to strumień gwiazdy, zanim planeta ją zakryje.
F1 to strumień po tym, jak cała planeta znajdzie się przed gwiazdą.
Poniższy obraz zostanie użyty do wszystkich obliczeń.
$$ \ frac {F_0 - F_1} {F_0} = \ frac {\ pi r_p ^ {2}} {\ pi R ^ 2_ \ ast} $$
$$ \ frac {\ Delta F} {F} \ cong \ frac {r ^ 2_p} {R ^ 2_ \ ast} $$
$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {earth} \ cong 0,001 \% $$
$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {jupiter} \ cong 1 \% $$
Nie jest to łatwe do osiągnięcia za pomocą teleskopu naziemnego. Osiąga to teleskop Hubble'a.
Tutaj $ t_T $ to czas między pozycjami A i D, a $ t_F $ to czas między pozycjami B i C.
Geometria przejścia związana z nachyleniem isystemu. Szerokość geograficzna i nachylenie tranzytu są wymienne.
Z powyższych zdjęć możemy napisać -
$$ \ frac {h} {a} = cos (i) $$
$$ \ frac {h} {R_ \ ast} = sin (\ delta) $$
$$ cos (i) = \ frac {R_ \ ast sin (\ delta)} {a} $$
$$ y ^ 2 = (R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2 $$
$$ y = [(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2] ^ {\ frac {1} {2}} $$
$$ sin (\ theta) = \ frac {y} {a} $$
$$ \ theta = sin ^ {- 1} \ left [\ frac {(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - a ^ 2cos ^ 2 (i)} {a ^ 2} \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$
$$ t_T = \ frac {P} {2 \ pi} \ times 2 \ theta $$
Tutaj $ t_T $ jest ułamkiem okresu, w którym zachodzi tranzyt, a (2θ / 2π) jest ułamkiem kąta, dla którego następuje tranzyt.
$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1+ \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Zwykle >> R ∗ >> Rp. Więc możemy napisać -
$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [1- \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Tutaj, Pto czas trwania między dwoma kolejnymi tranzytami. Czas przejścia jest znacznie krótszy w porównaniu z okresem orbitalnym. W związku z tym,
$$ t_T = \ frac {P} {\ pi} \ left [\ left (\ frac {R_ \ ast} {a} \ right) ^ 2 - cos ^ 2 (i) \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$
Tutaj, tT, P, R∗ są obserwowalne, a i i należy się dowiedzieć.
Teraz,
$$ sin (\ frac {t_F \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1 - \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos \: i \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
gdzie, $ y ^ 2 = (R_ \ ast - R_p) ^ 2 - h ^ 2 $.
Pozwolić,
$$ \ frac {\ Delta F} {F} = D = \ left (\ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 $$
Teraz możemy wyrazić,
$$ \ frac {a} {R_ \ ast} = \ frac {2P} {\ pi} D ^ {\ frac {1} {4}} (t ^ 2_T - t ^ 2_F) ^ {- \ frac {1 } {2}} $$
Dla gwiazd sekwencji głównej,
$$ R_ \ ast \ propto M ^ \ alpha_ \ ast $$
$$ \ frac {R_ \ ast} {R_0} \ propto \ left (\ frac {M_ \ ast} {M_0} \ right) ^ \ alpha $$
To daje R∗.
W związku z tym otrzymujemy również wartość „a”.
Otrzymujemy więc „R p ”, „ap”, a nawet „i”.
Za to wszystko
$$ h \ leq R_ \ ast + R_p $$
$$ a \: cos \: i \ leq R_ \ ast + R_p $$
Nawet ~ 89 stopni czas tranzytu jest bardzo krótki. Planeta musi być bardzo blisko, aby uzyskać wystarczający czas tranzytu. Daje to ścisłe ograniczenie „i”. Gdy otrzymamy „i”, możemy wyprowadzić „m p ” z pomiaru prędkości radialnej.
To wykrycie metodą tranzytu nazywa się wykrywaniem przypadkowym, tj. Prawdopodobieństwem zaobserwowania tranzytu. Obliczenia prawdopodobieństwa przejazdu (prawdopodobieństwa obserwacji) przedstawiono poniżej.
Prawdopodobieństwo przejścia jest związane z kątem bryłowym wyznaczonym przez dwie skrajne konfiguracje tranzytu, który jest -
$$ Solid \: angle \: of \: planet \: = 2 \ pi \ left (\ frac {2R_ \ ast} {a} \ right) $$
Jak również całkowity kąt bryłowy na półosi wielkiej a, lub -
$$ Bryła \: kąt \: z \: sfera \: = \: 4 \ pi $$
Prawdopodobieństwo to stosunek tych dwóch obszarów -
$$ = \: \ frac {obszar \: z \: nieba \: pokryty \: przez \: korzystna \: orientacja} {obszar \: \: niebo \: pokryty \: przez \: wszystko \: możliwe \: orientacja \: of \: orbit} $$
$ = \ frac {4 \ pi a_pR_ \ ast} {4 \ pi a ^ 2_p} = \ frac {R_ \ ast} {a_p} $ $ \ frac {obszar \: z \: pusty \: cyklindr} {obszar \ : z \: sfera} $
To prawdopodobieństwo jest niezależne od obserwatora.
Punkty do zapamiętania
- Aby określić rozmiar, zastosowano metodę tranzytu (Teleskop Kosmiczny Keplera).
- Wykrywanie metodą tranzytu to wykrycie przypadkowe.
- Planeta musi być bardzo blisko, aby uzyskać wystarczający czas tranzytu.
- Prawdopodobieństwo tranzytu jest związane z kątem bryłowym planety.
- Prawdopodobieństwo to jest niezależne od układu odniesienia obserwatora.