Prędkość przesunięcia ku czerwieni i recesji
Obserwacje Hubble'a wykorzystywały fakt, że prędkość radialna jest powiązana z przesunięciem Spectral Lines. Tutaj będziemy obserwować cztery przypadki i znaleźć związek między szybkością recesji ($ v_r $) a przesunięciem czerwonym (z).
Przypadek 1: Nierelatywistyczny przypadek ruchu Źródła
W tym przypadku v jest znacznie mniejsze niż c. Źródło emituje jakiś sygnał (dźwięk, światło itp.), Który rozchodzi się jakoWavefronts. Odstęp czasu między wysłaniem dwóch kolejnych sygnałów w ramce źródłowej wynosiΔts. Odstęp czasu między odbiorem dwóch kolejnych sygnałów w ramce obserwatora wynosiΔto.
Jeśli zarówno obserwator, jak i źródło są nieruchome, wówczas Δts = Δto, ale tak nie jest w tym przypadku. Zamiast tego relacja jest następująca.
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
Teraz $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
Ponadto, ponieważ (prędkość fali x czas) = długość fali, otrzymujemy
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
Z powyższych równań otrzymujemy następującą zależność -
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
gdzie $ \ lambda _s $ jest długością fali sygnału u źródła, a $ \ lambda _o $ jest długością fali sygnału zinterpretowaną przez obserwatora.
Tutaj, ponieważ źródło oddala się od obserwatora, v jest pozytywna.
Przesunięcie ku czerwieni -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
Z powyższych równań otrzymujemy przesunięcie ku czerwieni w następujący sposób.
$$ z = \ frac {v} {c} $$
Przypadek 2: nierelatywistyczny przypadek poruszania się obserwatora
W tym przypadku v jest znacznie mniejsze niż c. Tutaj $ \ Delta l $ jest inne.
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
Po uproszczeniu otrzymujemy -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left (1 - \ frac {v} {c} \ right) ^ {- 1} $$
Otrzymujemy przesunięcie ku czerwieni w następujący sposób -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
Od v << c, wyrażenie przesunięcia ku czerwieni dla przypadku I i przypadku II jest w przybliżeniu takie samo.
Zobaczmy, jak różnią się przesunięcia czerwieni uzyskane w powyższych dwóch przypadkach.
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ right] $$
Stąd $ z_ {II} - z_ {I} $ jest bardzo małą liczbą ze względu na czynnik $ (v / c) ^ 2 $.
Oznacza to, że jeśli v << c, nie możemy stwierdzić, czy źródło się porusza, czy też obserwator się porusza.
Rozumiemy teraz Basics of STR (Szczególna Teoria Względności) -
Prędkość światła jest stała.
Kiedy źródło (lub obserwator) porusza się z prędkością porównywalną do prędkości światła, obserwuje się efekty relatywistyczne.
Dylatacja czasu: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
Skurcz długości: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
Tutaj $ \ gamma $ to Lorrentz factorwiększe niż 1.
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Przypadek 3: Relatywistyczny przypadek ruchu źródła
W tym przypadku v jest porównywalne z c. Odwołaj się do tej samej figury, co w przypadku I. Ze względu na efekt relatywistyczny obserwuje się dylatację czasu i stąd otrzymujemy następującą zależność. (Źródło porusza się z relatywistyczną prędkością)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Przy dalszym uproszczeniu otrzymujemy:
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
Powyższe wyrażenie jest znane jako Kinematic Doppler Shift Expression.
Przypadek 4: Relatywistyczny przypadek poruszania się obserwatora
Zobacz ten sam rysunek, co w przypadku II. Ze względu na efekt relatywistyczny obserwuje się skrócenie czasu, a tym samym uzyskuje się następujący związek. (Obserwator porusza się z relatywistyczną prędkością)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
Przy dalszym uproszczeniu otrzymujemy -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
Powyższe wyrażenie jest takie samo, jak to, co otrzymaliśmy dla przypadku III.
Punkty do zapamiętania
Prędkość recesyjna i przesunięcie ku czerwieni gwiazdy to wielkości powiązane.
W przypadku nierelatywistycznym nie możemy określić, czy źródło jest ruchome czy stacjonarne.
W przypadku relatywistycznym nie ma różnicy w relacji prędkości przesunięcia ku czerwieni-recesji dla poruszającego się źródła lub obserwatora.
Poruszające się zegary poruszają się wolniej, jest bezpośrednim wynikiem teorii względności.