Kosmologia - Metryka Robertsona-Walkera

W tym rozdziale zrozumiemy szczegółowo metrykę Robertsona-Walkera.

Model zmiany współczynnika skali w czasie

Załóżmy, że foton jest emitowany z odległej galaktyki. Przestrzeń jest skierowana do przodu dla fotonów we wszystkich kierunkach. Ekspansja wszechświata odbywa się we wszystkich kierunkach. Zobaczmy, jak zmienia się współczynnik skali w czasie w kolejnych krokach.

Step 1 - W przypadku statycznego wszechświata współczynnik skali wynosi 1, tj. Wartość odległości współpoślizgowej to odległość między obiektami.

Step 2- Poniższy obraz przedstawia wykres wszechświata, który wciąż się rozszerza, ale w malejącym tempie, co oznacza, że ​​wykres rozpocznie się w przeszłości. Plikt = 0 wskazuje, że wszechświat zaczął się od tego punktu.

Step 3 - Poniższy obraz przedstawia wykres wszechświata, który rozszerza się w szybszym tempie.

Step 4 - Poniższy obraz przedstawia wykres wszechświata, który zaczyna się kurczyć od teraz.

Jeśli wartość współczynnika skali stanie się 0 podczas kurczenia się wszechświata oznacza to odległość między obiektami 0, czyli właściwa odległość staje się 0. Odległość zbliżająca się, która jest odległością między obiektami w obecnym wszechświecie, jest wielkością stałą. W przyszłości, gdy współczynnik skali stanie się0, wszystko będzie bliżej. Model zależy od składnika wszechświata.

Metryka dla płaskiego (euklidesowego: nie ma parametru dla krzywizny) rozszerzającego się wszechświata jest podana jako -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$

Dla czasoprzestrzeni element liniowy, który otrzymaliśmy w powyższym równaniu, jest modyfikowany jako -

$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) \ right \} $$

W przypadku czasoprzestrzeni czas, w którym foton jest emitowany i kiedy jest wykrywany, jest inny. Właściwa odległość to chwilowa odległość do obiektów, która może się zmieniać w czasie w wyniku rozszerzania się wszechświata. Jest to odległość, jaką foton pokonał z różnych obiektów, aby się do nas dostać. Jest to związane z odległością towarzyszącą jako -

$$ d_p = a (t) \ times d_c $$

gdzie $ d_p $ to właściwa odległość, a $ d_c $ to odległość zbliżająca się, która jest stała.

Odległość zmierzona do obiektów w obecnym wszechświecie jest traktowana jako odległość do współrzędnych, co oznacza, że ​​odległość między nimi jest stała i pozostaje niezmieniona przez ekspansję. W przeszłości współczynnik skali był mniejszy niż 1, co wskazuje, że właściwa odległość była mniejsza.

Możemy zmierzyć przesunięcie ku czerwieni galaktyki. Stąd właściwa odległość $ d_p $ odpowiada $ c \ razy t (z) $, gdzie $ t (z) $ jest czasem oczekiwania w kierunku przesunięcia ku czerwieni, a c jest prędkością światła w próżni. Okres ważności jest funkcją przesunięcia ku czerwieni(z).

W oparciu o powyższe pojęcie przeanalizujmy, jak kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni jest interpretowane w tym scenariuszu $ d_p = a (t) \ times d_c $.

Załóżmy, że galaktyka emituje foton (związany z ziemią), G. $ t_ {em} $ odpowiada czasowi wyemitowania fotonu; $ a (t_ {em}) $ było współczynnikiem skali w momencie emisji fotonu. W momencie wykrycia fotonu cały wszechświat się rozszerzył, tj. Foton jest przesunięty ku czerwieni w momencie wykrycia. $ T_ {obs} $ odpowiada czasowi wykrycia fotonu, a odpowiadający mu współczynnik skali to $ a (t_ {obs}) $.

Czynnik, dzięki któremu wszechświat się rozrósł, jest określony przez:

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Czynnikiem, o który rozszerzyła się długość fali, jest -

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

która jest równa czynnikowi, dzięki któremu wszechświat urósł. Symbole mają swoje zwykłe znaczenie. W związku z tym,

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

Znamy to przesunięcie ku czerwieni (z) jest -

$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$

$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

Obecna wartość współczynnika skali wynosi 1, stąd $ a (t_ {obs}) = 1 $ i oznacza współczynnik skali, gdy foton był emitowany w przeszłości przez $ a (t) $.

W związku z tym,

$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$

Interpretacja przesunięcia ku czerwieni w kosmologii

Aby to zrozumieć, weźmy następujący przykład: Jeśli $ z = 2 $, to $ a (t) = 1/3 $.

Oznacza to, że wszechświat rozszerzył się trzykrotnie, odkąd światło opuściło ten obiekt. Długość fali odbieranego promieniowania zwiększyła się trzykrotnie, ponieważ przestrzeń powiększyła się o ten sam współczynnik podczas jego przejścia od emitującego obiektu. Należy zauważyć, że przy tak dużych wartościachz, przesunięcie ku czerwieni jest głównie kosmologicznym przesunięciem ku czerwieni i nie jest poprawną miarą rzeczywistej prędkości recesji obiektu względem nas.

Dla kosmicznego mikrofalowego tła (CMB), z = 1089, co oznacza, że ​​obecny wszechświat rozszerzył się o współczynnik ∼1090. Metryka płaskiego, euklidesowego, rozszerzającego się wszechświata jest podawana jako -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$

Chcemy zapisać metrykę w dowolnej krzywizny.

Robertson and Walker udowodniono dla dowolnego wszechświata krzywizny (który jest jednorodny i izotropowy), metryka jest podawana jako -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$

Jest to ogólnie znane jako Robertson–Walker Metrici jest prawdziwe dla każdej topologii przestrzeni. Zwróć uwagę na dodatkowy czynnik w $ dr ^ 2 $. Tutaj jest stałą krzywizny.

Geometria Wszechświata

Geometria Wszechświata jest wyjaśniona za pomocą następujących krzywizn, które obejmują:

• Dodatnia krzywizna
• Ujemna krzywizna
• Zero krzywizny

Rozumiemy szczegółowo każdy z nich.

Dodatnia krzywizna

Jeśli płaszczyzna styczna narysowana w dowolnym punkcie na powierzchni krzywizny nie przecina się w żadnym punkcie na powierzchni, nazywa się to powierzchnią z dodatnią krzywizną, czyli powierzchnia pozostaje w tym punkcie po jednej stronie płaszczyzny stycznej. Powierzchnia kuli ma dodatnią krzywiznę.

Ujemna krzywizna

Jeśli płaszczyzna styczna narysowana w punkcie na powierzchni krzywizny przecina się w dowolnym miejscu na powierzchni, nazywa się to powierzchnią o ujemnej krzywizny, tj. Powierzchnia zakrzywia się od płaszczyzny stycznej w dwóch różnych kierunkach. Powierzchnia w kształcie siodła ma ujemną krzywiznę.

Rozważmy teraz powierzchnię kuli. Jeśli trójkąt jest zbudowany na powierzchni kuli przez połączenie trzech punktów geodezyjnych (łuk wielkich okręgów), to suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest większa niż 180 ^o , czyli -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$

Takie przestrzenie nazywane są przestrzeniami zakrzywionymi dodatnio. Ponadto krzywizna jest jednorodna i izotropowa. Ogólnie kąt w wierzchołkach trójkąta sferycznego jest zgodny z zależnością -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$

gdzie A jest obszarem trójkąta i Rjest promieniem kuli. Poniższy obraz przedstawia pozytywnie zakrzywioną przestrzeń.

Aby uzyskać dodatnią krzywiznę, równoległe linie powinny się spotkać. Rozważmy powierzchnię ziemi, która jest przestrzenią o pozytywnym zakrzywieniu. Weź dwa punkty początkowe na równiku. Linie, które przecinają równik pod kątem prostym, nazywane są liniami długości geograficznej. Ponieważ te linie przecinają równik pod kątem prostym, można je nazwać liniami równoległymi. Zaczynając od równika, ostatecznie przecinają się na biegunach. Ta metoda była używana przezCarl Gauss i inni, aby zrozumieć topologię Ziemi.

Rozważ negatywnie - zakrzywioną przestrzeń (siodło pokazane na poniższym obrazku), suma kątów wewnętrznych trójkąta jest mniejsza niż 180 ^o , czyli -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$

Kąt na wierzchołkach jest zgodny z relacją -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$

Zero krzywizny

Płaska powierzchnia ma zerową krzywiznę. Teraz dla płaskiej przestrzeni, jeśli weźmie się płaszczyznę i skonstruuje się trójkąt przez połączenie trzech punktów geodezyjnymi (liniami prostymi), wewnętrzna suma kątów będzie wynosić -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$

Poniższy obraz przedstawia płaską, dwuwymiarową przestrzeń.

Jeśli chce się, aby przestrzeń była jednorodna i izotropowa, pozostają tylko trzy możliwości: przestrzeń może być jednolicie płaska, może mieć jednolitą krzywiznę dodatnią lub jednolitą krzywiznę ujemną.

Stała krzywizny może przyjmować dowolną z następujących trzech wartości.

$$ k = \ begin {cases} +1, & for \: a \: dodatnio \: curved \: space; \\\ quad 0, & for \: a \: flat \: space; \\ - 1, & dla \: a \: negatywnie \: zakrzywiona \: spacja; \ end {przypadki} $$

Globalna topologia Wszechświata

Wszechświat ma określoną topologię, ale lokalnie może mieć zmarszczki. W zależności od tego, jak materia jest rozłożona w przestrzeni, występują mniejsze różnice w krzywizny. Załóżmy, że istnieje klasa obiektów, które mają ten sam rzeczywisty rozmiar niezależnie od tego, gdzie się znajdują we Wszechświecie, co oznacza, że ​​są jak standardowe świece. Nie mają tej samej jasności, ale mają ten sam rozmiar.

Jeśli obiekt znajduje się w dodatnio zakrzywionej przestrzeni, a fotony pochodzą z punktu A (jeden koniec obiektu) i B (drugi koniec obiektu), fotony będą propagować równolegle w dodatnio zakrzywionej przestrzeni przez ścieżkę geodezyjną i ostatecznie spotkają się . Dla obserwatora w C wydaje się, że pochodzi z dwóch różnych punktów w różnych kierunkach.

Jeśli obiekt znajduje się we wszechświecie lokalnym i mierzymy rozmiar kątowy, krzywizna nie ma na niego wpływu. Jeśli ta sama klasa obiektów jest widoczna z większym przesunięciem ku czerwieni, rozmiar kątowy nie jest skorelowany z.

$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$

Gdzie d jest rozmiarem obiektu i rjest odległością od obiektu, tj. jeśli rozmiar jest większy niż rozmiar lokalny, oznacza to, że krzywizna jest dodatnia. Poniższy obraz przedstawia foton wykryty w dodatnio zakrzywionej przestrzeni.

Należy zauważyć, że nie ma prawdziwego obiektu astrofizycznego, który miałby standardowe rozmiary i morfologię. Chociaż uważano, że masywne eliptyczne galaktyki cD - pasują do standardowych świec, okazało się jednak, że ewoluują one z czasem.

Znajdowanie odległości do galaktyk

W tej sekcji omówimy, jak znaleźć odległość do galaktyki, biorąc pod uwagę poniższy obraz.

Rozważ Drogę Mleczną w (r, θ,) w kosmologicznej ramie spoczynku. Można przyjąć = 0; (0, θ, ϕ), czyli centrum wszechświata przez przywołanie założenia jednorodności.

Rozważmy galaktykę „G” w (r1, θ,). Odległość (właściwa) to najkrótsza promieniowa odległość przebyta przez foton. Z symetrii czasoprzestrzeni zerowa geodezyjna od r = 0 do r = r1 ma stały kierunek w przestrzeni. Współrzędne kątowe podczas propagacji radialnej nie zmieniają się. Jeśli zmieniają się współrzędne kątowe, nie jest to najkrótsza droga. To jest powód, dla którego pojęcie krzywizny występuje w dr ² .

Punkty do zapamiętania

• Ekspansja wszechświata odbywa się we wszystkich kierunkach.

• Wszechświat może być statyczny, rozszerzać się lub kurczyć w zależności od ewolucji współczynnika skali.

• Galaktyki cD ewoluują z upływem czasu i dlatego nie mogą być używane jako standardowe świece.

• Wszechświat ma pewną topologię, ale lokalnie może mieć zmarszczki.