Kosmologia - Wszechświat zdominowany przez promieniowanie
W tym rozdziale omówimy rozwiązania równań Friedmanna związane ze wszechświatem zdominowanym przez promieniowanie. Na początku porównujemy gęstość energii materii z gęstością promieniowania. To pozwoli nam zobaczyć, czy nasz wszechświat jest zdominowany przez materię, czy zdominowany przez promieniowanie.
Gęstość energii promieniowania
Promieniowanie panujące w obecnym wszechświecie można w bardzo niewielkim stopniu przypisać źródłom gwiazd, ale jest ono głównie spowodowane pozostałościami CMB (kosmiczne tło mikrofalowe).
Gęstość energii promieniowania, $ \ epsilon _ {\ gamma, 0} $, można wyrazić następująco -
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$
Tutaj, a jest stałą promieniowania, która ma wyrażenie $ (8 \ pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $ równe a = 7.5657 × 10−15erg\: cm−3 K−4. Rozważamy tutaj temperaturę T0, która odpowiada temperaturze ciała doskonale czarnego odpowiadającego CMB.
Zastępując wyniki, mamy
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 \ times 10 ^ {- 13} erg \: cm ^ {- 3} $$
Gęstość energii materii
W poniższych obliczeniach przyjęliśmy założenie pracy z płaskim Wszechświatem i K = 0. Rozważamy gęstość energii materii jako $ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $. Rozważamy następujące -
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0,3 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,3 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 8} erg \: cm ^ {- 3} $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0,03 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,03 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {- 9} erg \: cm ^ {- 3} $$
Zatem z powyższego obliczenia widzimy, że żyjemy we wszechświecie zdominowanym przez materię. Potwierdza to fakt, że KMPT jest bardzo zimny. Gdy spojrzymy w przeszłość, temperatura KMPT staje się coraz gorętsza i będziemy w stanie stwierdzić, że mogła istnieć epoka, w której wszechświat był zdominowany przez promieniowanie.
Zmienność gęstości i współczynnika skali
Równanie płynu pokazuje nam, że -
$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Jeśli weźmiemy pod uwagę zapylony wszechświat, otrzymamy P = 0. Pomijając poprzednie wyniki, uważamy, że wszechświat jest zdominowany przez promieniowanie.
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Używając zależności ciśnienia $ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $ mamy -
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a} (\ rho_ {rad}) = 0 $$
W przypadku dalszego uproszczenia mamy
$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$
$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \: stała $$
$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$
Powyższy wynik przedstawia odwrotną czwartą zmianę potęgi a z $ \ rho $.
Można to fizycznie zinterpretować jako $ a ^ {- 3} $ pochodzące ze zmiany wolumenu w miarę jej wzrostu. Pozostałe $ a ^ {- 1} $ można potraktować jako energię utraconą przez foton w wyniku ekspansji przestrzeni we Wszechświecie (Kosmologiczne przesunięcie ku czerwieni 1 + z = a -1 ).
Poniższy obraz przedstawia zmiany gęstości materii i promieniowania w czasie.
W przypadku płaskiego wszechświata zdominowanego przez promieniowanie otrzymalibyśmy następujące równanie Friedmanna -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$
Po uproszczeniu i zastosowaniu rozwiązania równania różniczkowego mamy -
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow a (t) \ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$
Tak więc mamy -
$$ a (t) = a_0 \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Z powyższego równania widzimy, że tempo wzrostu współczynnika skali jest mniejsze niż w zapylonym wszechświecie.
Punkty do zapamiętania
Promieniowanie panujące w obecnym wszechświecie można w bardzo niewielkim stopniu przypisać źródłom gwiazd.
W zakurzonym wszechświecie ciśnienie wynosi zero.
CMB jest bardzo zimny.