Kosmologia - parametr Hubble'a i gęstości

W tym rozdziale omówimy parametry gęstości i Hubble'a.

Parametr Hubble'a

Parametr Hubble jest zdefiniowany w następujący sposób -

$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$

który mierzy, jak szybko zmienia się współczynnik skali. Mówiąc bardziej ogólnie, ewolucja współczynnika skali jest określona przez równanie Friedmanna.

$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$

gdzie, ∧ jest kosmologiczną stałą.

Dla płaskiego wszechświata k = 0, stąd równanie Friedmanna staje się -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$

W przypadku wszechświata zdominowanego przez materię gęstość zmienia się jako -

$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$

a dla wszechświata zdominowanego przez promieniowanie gęstość zmienia się jako -

$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$

Obecnie żyjemy w wszechświecie zdominowanym przez materię. Stąd biorąc pod uwagę $ \ rho ≡ \ rho_m $, otrzymujemy -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$

Stała kosmologiczna i gęstość ciemnej energii są powiązane w następujący sposób -

$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$

Z tego otrzymujemy -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$

Ponadto gęstość krytyczna i stała Hubble'a są powiązane w następujący sposób -

$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$

Z tego otrzymujemy -

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$

$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

Tutaj $ H (z) $ jest parametrem Hubble'a zależnym od przesunięcia ku czerwieni. Można to zmodyfikować, aby uwzględnić parametr gęstości promieniowania $ \ Omega_ {rad} $ i parametr gęstości krzywizny $ \ Omega_k $. Zmodyfikowane równanie to -

$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

$$ Lub \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$

$$ Lub \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$

gdzie,

$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$

To pokazuje, że parametr Hubble zmienia się w czasie.

Dla Einstein-de Sitter Wszechświat, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.

Wprowadzając te wartości, otrzymujemy -

$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$

która pokazuje ewolucję w czasie parametru Hubble'a dla wszechświata Einsteina-de Sittera.

Parametr gęstości

Parametr gęstości, $ \ Omega $, definiuje się jako stosunek rzeczywistej (lub obserwowanej) gęstości ρ do gęstości krytycznej $ \ rho_c $. Dla dowolnej wielkości $ x $ odpowiadający parametr gęstości $ \ Omega_x $ można wyrazić matematycznie jako -

$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$

Dla różnych rozważanych wielkości możemy zdefiniować następujące parametry gęstości.

S.No.	Ilość	Parametr gęstości
1	Bariony	$ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $
2	Materia (barionowa + ciemna)	$ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $
3	Ciemna energia	$ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $
4	Promieniowanie	$ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $

Gdzie symbole mają swoje zwykłe znaczenie.

Punkty do zapamiętania

• Ewolucja współczynnika skali jest określana przez Friedmann Equation.

• H(z) jest parametrem Hubble'a zależnym od przesunięcia ku czerwieni.

• Plik Hubble Parameter zmienia się w czasie.

• Plik Density Parameter definiuje się jako stosunek gęstości rzeczywistej (lub obserwowanej) do gęstości krytycznej.