Processamento de sinal digital - Guia rápido
Definição
Qualquer coisa que carregue informações pode ser chamada de sinal. Também pode ser definida como uma quantidade física que varia com o tempo, temperatura, pressão ou com qualquer variável independente, como sinal de fala ou sinal de vídeo.
O processo de operação no qual as características de um sinal (amplitude, forma, fase, frequência, etc.) sofrem uma alteração é conhecido como processamento de sinal.
Note- Qualquer sinal indesejado que interfira com o sinal principal é denominado ruído. Portanto, o ruído também é um sinal, mas indesejado.
De acordo com sua representação e processamento, os sinais podem ser classificados em várias categorias, cujos detalhes são discutidos abaixo.
Sinais de tempo contínuos
Sinais de tempo contínuo são definidos ao longo de um continuum de tempo e, portanto, são representados por uma variável independente contínua. Os sinais de tempo contínuo são freqüentemente chamados de sinais analógicos.
Este tipo de sinal mostra continuidade tanto em amplitude quanto em tempo. Estes terão valores a cada instante de tempo. As funções seno e cosseno são o melhor exemplo de sinal de tempo contínuo.
O sinal mostrado acima é um exemplo de sinal de tempo contínuo porque podemos obter o valor do sinal a cada instante de tempo.
Sinais de tempo discreto
Os sinais, que são definidos em momentos discretos, são conhecidos como sinais discretos. Portanto, cada variável independente tem um valor distinto. Assim, eles são representados como uma sequência de números.
Embora os sinais de voz e vídeo tenham o privilégio de serem representados em formato de tempo contínuo e discreto; sob certas circunstâncias, eles são idênticos. As amplitudes também mostram características discretas. Um exemplo perfeito disso é um sinal digital; cuja amplitude e tempo são discretos.
A figura acima mostra a característica de amplitude discreta de um sinal discreto durante um período de tempo. Matematicamente, esses tipos de sinais podem ser formulados como;
$$x = \left \{ x\left [ n \right ] \right \},\quad -\infty < n< \infty$$Onde, n é um número inteiro.
É uma sequência de números x, onde o n- ésimo número na sequência é representado como x [n].
Para testar um sistema, geralmente, sinais padrão ou básicos são usados. Esses sinais são os blocos de construção básicos para muitos sinais complexos. Portanto, eles desempenham um papel muito importante no estudo de sinais e sistemas.
Impulso da Unidade ou Função Delta
Um sinal que satisfaz a condição, $\delta(t) = \lim_{\epsilon \to \infty} x(t)$é conhecido como sinal de impulso unitário. Este sinal tende ao infinito quando t = 0 e tende a zero quando t ≠ 0 de forma que a área sob sua curva é sempre igual a um. A função delta tem amplitude zero em todos os lugares excunit_impulse.jpgept em t = 0.
Propriedades do Sinal de Impulso da Unidade
- δ (t) é um sinal par.
- δ (t) é um exemplo de sinal de nem energia nem potência (NENP).
- A área do sinal de impulso da unidade pode ser escrita como; $$A = \int_{-\infty}^{\infty} \delta (t)dt = \int_{-\infty}^{\infty} \lim_{\epsilon \to 0} x(t) dt = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} [x(t)dt] = 1$$
- O peso ou a força do sinal podem ser escritos como; $$y(t) = A\delta (t)$$
- A área do sinal de impulso ponderado pode ser escrita como - $$y (t) = \int_{-\infty}^{\infty} y (t)dt = \int_{-\infty}^{\infty} A\delta (t) = A[\int_{-\infty}^{\infty} \delta (t)dt ] = A = 1 = Wigthedimpulse$$
Sinal de etapa da unidade
Um sinal, que satisfaz as duas condições a seguir -
- $U(t) = 1(when\quad t \geq 0 )and$
- $U(t) = 0 (when\quad t < 0 )$
é conhecido como um sinal de etapa de unidade.
Tem a propriedade de mostrar descontinuidade em t = 0. No ponto de descontinuidade, o valor do sinal é dado pela média do valor do sinal. Este sinal foi captado imediatamente antes e depois do ponto de descontinuidade (de acordo com os fenômenos de Gibb).
Se adicionarmos um sinal de degrau a outro sinal de degrau em escala de tempo, o resultado será a unidade. É um sinal do tipo de potência e o valor da potência é 0,5. O valor RMS (Root mean square) é 0,707 e seu valor médio também é 0,5
Sinal de rampa
A integração do sinal de degrau resulta em um sinal de Rampa. É representado por r (t). O sinal de rampa também satisfaz a condição$r(t) = \int_{-\infty}^{t} U(t)dt = tU(t)$. Não é um sinal do tipo energia nem potência (NENP).
Sinal Parabólico
A integração do sinal de Rampa leva ao sinal parabólico. É representado por p (t). O sinal parabólico também satisfaz a condição$p(t) = \int_{-\infty}^{t} r(t)dt = (t^{2}/2)U(t)$. Não é um sinal do tipo energia nem potência (NENP).
Função Signum
Esta função é representada como
$$sgn(t) = \begin{cases}1 & for\quad t >0\\-1 & for\quad t<0\end{cases}$$É um sinal do tipo de energia. Seu valor de potência e valores RMS (Root mean square), ambos são 1. O valor médio da função signum é zero.
Função Sinc
Também é uma função de seno e é escrito como -
$$SinC(t) = \frac{Sin\Pi t}{\Pi T} = Sa(\Pi t)$$Propriedades da função Sinc
É um sinal de tipo de energia.
$Sinc(0) = \lim_{t \to 0}\frac{\sin \Pi t}{\Pi t} = 1$
$Sinc(\infty) = \lim_{t \to \infty}\frac{\sin \Pi \infty}{\Pi \infty} = 0$ (O intervalo de sinπ∞ varia de -1 a +1, mas qualquer coisa dividida pelo infinito é igual a zero)
-
E se $ \sin c(t) = 0 => \sin \Pi t = 0$
$\Rightarrow \Pi t = n\Pi$
$\Rightarrow t = n (n \neq 0)$
Sinal Sinusoidal
Um sinal, que é contínuo por natureza, é conhecido como sinal contínuo. O formato geral de um sinal sinusoidal é
$$x(t) = A\sin (\omega t + \phi )$$Aqui,
A = amplitude do sinal
ω = frequência angular do sinal (medido em radianos)
φ = ângulo de fase do sinal (medido em radianos)
A tendência desse sinal é se repetir após certo período de tempo, por isso é chamado de sinal periódico. O período de tempo do sinal é dado como;
$$T = \frac{2\pi }{\omega }$$A vista diagramática do sinal senoidal é mostrada abaixo.
Função Retangular
Um sinal é chamado de tipo de função retangular se satisfizer a seguinte condição -
$$\pi(\frac{t}{\tau}) = \begin{cases}1, & for\quad t\leq \frac{\tau}{2}\\0, & Otherwise\end{cases}$$Sendo simétrico em relação ao eixo Y, este sinal é denominado sinal par.
Sinal de pulso triangular
Qualquer sinal que satisfaça a seguinte condição é conhecido como sinal triangular.
$$\Delta(\frac{t}{\tau}) = \begin{cases}1-(\frac{2|t|}{\tau}) & for|t|<\frac{\tau}{2}\\0 & for|t|>\frac{\tau}{2}\end{cases}$$Este sinal é simétrico em relação ao eixo Y. Conseqüentemente, também é denominado como sinal uniforme.
Vimos como os sinais básicos podem ser representados no domínio do tempo contínuo. Vamos ver como os sinais básicos podem ser representados no Domínio do Tempo Discreto.
Sequência de Impulso da Unidade
É denotado como δ (n) no domínio do tempo discreto e pode ser definido como;
$$\delta(n)=\begin{cases}1, & for \quad n=0\\0, & Otherwise\end{cases}$$Sinal de etapa da unidade
O sinal de etapa da unidade de tempo discreto é definido como;
$$U(n)=\begin{cases}1, & for \quad n\geq0\\0, & for \quad n<0\end{cases}$$A figura acima mostra a representação gráfica de uma função de etapa discreta.
Função de Rampa da Unidade
Uma função de rampa de unidade discreta pode ser definida como -
$$r(n)=\begin{cases}n, & for \quad n\geq0\\0, & for \quad n<0\end{cases}$$A figura acima mostra a representação gráfica de um sinal de rampa discreto.
Função Parabólica
Função parabólica de unidade discreta é denotada como p (n) e pode ser definida como;
$$p(n) = \begin{cases}\frac{n^{2}}{2} ,& for \quad n\geq0\\0, & for \quad n<0\end{cases}$$Em termos de função de etapa de unidade, pode ser escrito como;
$$P(n) = \frac{n^{2}}{2}U(n)$$A figura acima mostra a representação gráfica de uma seqüência parabólica.
Sinal Sinusoidal
Todos os sinais de tempo contínuo são periódicos. As sequências sinusoidais de tempo discreto podem ou não ser periódicas. Eles dependem do valor de ω. Para que um sinal de tempo discreto seja periódico, a frequência angular ω deve ser um múltiplo racional de 2π.
Um sinal sinusoidal discreto é mostrado na figura acima.
A forma discreta de um sinal sinusoidal pode ser representada no formato -
$$x(n) = A\sin(\omega n + \phi)$$Aqui, A, ω e φ têm seus significados usuais en é o inteiro. O período de tempo do sinal sinusoidal discreto é dado por -
$$N =\frac{2\pi m}{\omega}$$Onde, N e m são inteiros.
Os sinais de tempo contínuo podem ser classificados de acordo com diferentes condições ou operações realizadas nos sinais.
Sinais pares e ímpares
Even Signal
Diz-se que um sinal é mesmo que satisfaça a seguinte condição;
$$x(-t) = x(t)$$A inversão de tempo do sinal não implica nenhuma mudança na amplitude aqui. Por exemplo, considere a onda triangular mostrada abaixo.
O sinal triangular é um sinal uniforme. Desde então, é simétrico em relação ao eixo Y. Podemos dizer que é uma imagem espelhada do eixo Y.
Considere outro sinal, conforme mostrado na figura abaixo.
Podemos ver que o sinal acima é uniforme, pois é simétrico em relação ao eixo Y.
Sinal ímpar
Um sinal é considerado estranho se satisfizer a seguinte condição
$$x(-t) = -x(t)$$Aqui, a inversão de tempo e a mudança de amplitude ocorrem simultaneamente.
Na figura acima, podemos ver um sinal de degrau x (t). Para testar se é um sinal ímpar ou não, primeiro fazemos a inversão de tempo, ou seja, x (-t) e o resultado é como mostrado na figura. Em seguida, invertemos a amplitude do sinal resultante, isto é, –x (-t) e obtemos o resultado conforme mostrado na figura.
Se compararmos a primeira e a terceira forma de onda, podemos ver que são iguais, ou seja, x (t) = -x (-t), o que satisfaz nossos critérios. Portanto, o sinal acima é um sinal ímpar.
Alguns resultados importantes relacionados a sinais pares e ímpares são fornecidos abaixo.
- Par × Par = Par
- Ímpar × Ímpar = Par
- Par × Ímpar = Ímpar
- Par ± Par = Par
- Ímpar ± Ímpar = Ímpar
- Par ± Ímpar = Nem par nem ímpar
Representação de qualquer sinal em forma par ou ímpar
Alguns sinais não podem ser classificados diretamente em tipo par ou ímpar. Eles são representados como uma combinação de sinais pares e ímpares.
$$x(t)\rightarrow x_{e}(t)+x_{0}(t)$$Onde x e (t) representa o sinal par e x o (t) representa o sinal ímpar
$$x_{e}(t)=\frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$E
$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$Exemplo
Encontre as partes pares e ímpares do sinal $x(n) = t+t^{2}+t^{3}$
Solution - Ao inverter x (n), obtemos
$$x(-n) = -t+t^{2}-t^{3}$$
Agora, de acordo com a fórmula, a parte par
$$x_{e}(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$$
$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})+(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$
$$= t^{2}$$
Da mesma forma, de acordo com a fórmula, a parte ímpar é
$$x_{0}(t)=\frac{[x(t)-x(-t)]}{2}$$
$$= \frac{[(t+t^{2}+t^{3})-(-t+t^{2}-t^{3})]}{2}$$
$$= t+t^{3}$$
Sinais Periódicos e Não Periódicos
Sinais Periódicos
O sinal periódico se repete após certo intervalo de tempo. Podemos mostrar isso na forma de equação como -
$$x(t) = x(t)\pm nT$$Onde, n = um inteiro (1,2,3 ……)
T = período de tempo fundamental (FTP) ≠ 0 e ≠ ∞
O período de tempo fundamental (FTP) é o menor valor positivo e fixo de tempo para o qual o sinal é periódico.
Um sinal triangular é mostrado na figura acima de amplitude A. Aqui, o sinal está se repetindo a cada 1 segundo. Portanto, podemos dizer que o sinal é periódico e seu FTP é de 1 seg.
Sinal Não Periódico
Simplesmente, podemos dizer, os sinais, que não são periódicos, são não periódicos por natureza. Como é óbvio, esses sinais não se repetirão após qualquer intervalo de tempo.
Os sinais não periódicos não seguem um determinado formato; portanto, nenhuma equação matemática particular pode descrevê-los.
Energia e sinais de potência
Um sinal é dito ser um sinal de energia, se e somente se, a energia total contida é finita e diferente de zero (0 <E <∞). Portanto, para qualquer sinal de tipo de energia, o sinal normalizado total é finito e diferente de zero.
Um sinal de corrente CA sinusoidal é um exemplo perfeito de sinal do tipo Energia porque está em meio ciclo positivo em um caso e, em seguida, é negativo no próximo meio ciclo. Portanto, sua potência média torna-se zero.
Um capacitor sem perdas também é um exemplo perfeito de sinal do tipo Energia, porque quando está conectado a uma fonte ele carrega até seu nível ótimo e quando a fonte é removida, ele dissipa aquela quantidade igual de energia através de uma carga e torna sua potência média para zero.
Para qualquer sinal finito x (t), a energia pode ser simbolizada como E e é escrita como;
$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$A densidade espectral de sinais de tipo de energia fornece a quantidade de energia distribuída em vários níveis de frequência.
Sinais de tipo de energia
Um sinal é dito ser um sinal do tipo potência, se e somente se, a potência média normalizada é finita e diferente de zero, isto é (0 <p <∞). Para o sinal do tipo de potência, a potência média normalizada é finita e diferente de zero. Quase todos os sinais periódicos são sinais de potência e sua potência média é finita e diferente de zero.
Na forma matemática, a potência de um sinal x (t) pode ser escrita como;
$$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$Diferença entre sinais de energia e potência
A tabela a seguir resume as diferenças de sinais de energia e potência.
Sinal de energia | Sinal de Energia |
---|---|
Sinais periódicos práticos são sinais de potência. | Os sinais não periódicos são sinais de energia. |
Aqui, a potência média normalizada é finita e diferente de zero. | Aqui, a energia normalizada total é finita e diferente de zero. |
Matematicamente, $$P = \lim_{T \rightarrow \infty}1/T\int_{-T/2}^{+T/2} x^{2}(t)dt$$ |
Matematicamente, $$E = \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}(t)dt$$ |
A existência desses sinais é infinita ao longo do tempo. | Esses sinais existem por um período limitado de tempo. |
A energia do sinal de potência é infinita em um tempo infinito. | A potência do sinal de energia é zero ao longo do tempo infinito. |
Exemplos resolvidos
Example 1 - Encontre a potência de um sinal $z(t) = 2\cos(3\Pi t+30^{o})+4\sin(3\Pi +30^{o})$
Solution- Os dois sinais acima são ortogonais entre si porque seus termos de frequência são idênticos entre si e também têm a mesma diferença de fase. Portanto, o poder total será a soma dos poderes individuais.
Deixei $z(t) = x(t)+y(t)$
Onde $x(t) = 2\cos (3\Pi t+30^{o})$ e $y(t) = 4\sin(3\Pi +30^{o})$
Desligar $x(t) = \frac{2^{2}}{2} = 2$
Desligar $y(t) = \frac{4^{2}}{2} = 8$
Portanto, $P(z) = p(x)+p(y) = 2+8 = 10$… Resp.
Example 2 - Teste se o sinal dado $x(t) = t^{2}+j\sin t$ é conjugado ou não?
Solution- Aqui, a parte real sendo t 2 é a parte par e a parte ímpar (imaginária) sendo$\sin t$é estranho. Portanto, o sinal acima é o sinal do conjugado.
Example 3 - Verifique se $X(t)= \sin \omega t$ é um sinal ímpar ou um sinal par.
Solution - dado $X(t) = \sin \omega t$
Com a reversão do tempo, teremos $\sin (-\omega t)$
Mas sabemos que $\sin(-\phi) = -\sin \phi$.
Portanto,
$$\sin (-\omega t) = -\sin \omega t$$Isso satisfaz a condição de um sinal ser ímpar. Portanto,$\sin \omega t$ é um sinal estranho.
Assim como os sinais de tempo contínuo, os sinais de tempo discreto podem ser classificados de acordo com as condições ou operações nos sinais.
Sinais pares e ímpares
Even Signal
Um sinal é considerado par ou simétrico se satisfizer a seguinte condição;
$$x(-n) = x(n)$$Aqui, podemos ver que x (-1) = x (1), x (-2) = x (2) e x (-n) = x (n). Portanto, é um sinal uniforme.
Sinal ímpar
Um sinal é considerado estranho se satisfizer a seguinte condição;
$$x(-n) = -x(n)$$Na figura, podemos ver que x (1) = -x (-1), x (2) = -x (2) e x (n) = -x (-n). Portanto, é um sinal estranho e também anti-simétrico.
Sinais Periódicos e Não Periódicos
Um sinal de tempo discreto é periódico se, e somente se, satisfaz a seguinte condição -
$$x(n+N) = x(n)$$Aqui, o sinal x (n) se repete após N período. Isso pode ser melhor compreendido considerando um sinal de cosseno -
$$x(n) = A \cos(2\pi f_{0}n+\theta)$$ $$x(n+N) = A\cos(2\pi f_{0}(n+N)+\theta) = A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta)$$ $$= A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta)$$Para que o sinal se torne periódico, as seguintes condições devem ser satisfeitas;
$$x(n+N) = x(n)$$ $$\Rightarrow A\cos(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta) = A \cos(2\pi f_{0}n+\theta)$$ie $2\pi f_{0}N$ é um múltiplo integral de $2\pi$
$$2\pi f_{0}N = 2\pi K$$ $$\Rightarrow N = \frac{K}{f_{0}}$$As frequências de sinais sinusoidais discretos são separados por múltiplos integrais de $2\pi$.
Energia e sinais de potência
Sinal de Energia
A energia de um sinal de tempo discreto é denotada como E. Matematicamente, pode ser escrita como;
$$E = \displaystyle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|^2$$Se cada valor individual de $x(n)$são ao quadrado e somados, obtemos o sinal de energia. Aqui$x(n)$ é o sinal de energia e sua energia é finita ao longo do tempo, ou seja, $ 0 <E <\ infty $
Sinal de energia
A potência média de um sinal discreto é representada como P. Matematicamente, isso pode ser escrito como;
$$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\displaystyle\sum\limits_{n=-N}^{+N} |x(n)|^2$$Aqui, a potência é finita, ou seja, 0 <P <∞. No entanto, existem alguns sinais que não pertencem nem ao sinal de energia nem ao tipo de energia.
Existem outros sinais, que são resultado da operação executada neles. Alguns tipos comuns de sinais são discutidos abaixo.
Sinais Conjugados
Sinais, que satisfazem a condição $x(t) = x*(-t)$ são chamados de sinais conjugados.
Deixei $x(t) = a(t)+jb(t)$... eqn. 1
Então, $x(-t) = a(-t)+jb(-t)$
E $x*(-t) = a(-t)-jb(-t)$... eqn. 2
Por Condição, $x(t) = x*(-t)$
Se compararmos as equações derivadas 1 e 2, podemos ver que a parte real é par, enquanto a parte imaginária é ímpar. Esta é a condição para um sinal ser do tipo conjugado.
Sinais anti-simétricos conjugados
Sinais que satisfazem a condição $x(t) = -x*(-t)$ são chamados de sinal anti-simétrico conjugado
Deixei $x(t) = a(t)+jb(t)$... eqn. 1
então $x(-t) = a(-t)+jb(-t)$
E $x*(-t) = a(-t)-jb(-t)$
$-x*(-t) = -a(-t)+jb(-t)$... eqn. 2
Por condição $x(t) = -x*(-t)$
Agora, novamente compare as duas equações da mesma forma que fizemos para os sinais conjugados. Aqui, descobriremos que a parte real é ímpar e a parte imaginária é par. Esta é a condição para que um sinal se torne do tipo conjugado anti-simétrico.
Exemplo
Que o sinal dado seja $x(t) = \sin t+jt^{2}$.
Aqui, a parte real sendo $\sin t$ é estranho e a parte imaginária sendo $t^2$é mesmo. Portanto, este sinal pode ser classificado como sinal antissimétrico conjugado.
Qualquer função pode ser dividida em duas partes. Uma parte sendo simetria do conjugado e a outra parte sendo antissimétrica do conjugado. Portanto, qualquer sinal x (t) pode ser escrito como
$$x(t) = xcs(t)+xcas(t)$$Onde $xcs(t)$ é um sinal simétrico conjugado e $xcas(t)$ é um sinal anti-simétrico conjugado
$$xcs(t) = \frac{[x(t)+x*(-t)]}{2}$$E
$$xcas(t) = \frac{[x(t)-x*(-t)]}{2}$$Sinais simétricos de meia onda
Quando um sinal satisfaz a condição $cx(t) = -x(t\pm (\frac{T_{0}}{2}))$, é chamado de sinal simétrico de meia onda. Aqui, a inversão de amplitude e a mudança de tempo do sinal ocorrem na metade do tempo. Para sinal simétrico de meia onda, o valor médio será zero, mas este não é o caso quando a situação é inversa.
Considere um sinal x (t) conforme mostrado na figura A acima. A primeira etapa é mudar o tempo do sinal e torná-lo$x[t-(\frac{T}{2})]$. Assim, o novo sinal é alterado conforme mostrado na figura B. Em seguida, invertemos a amplitude do sinal, ou seja, o tornamos$-x[t-(\frac{T}{2})]$ como mostrado na figura C. Uma vez que este sinal se repete após o deslocamento de meio tempo e reversão de amplitude, é um sinal simétrico de meia onda.
Sinal Ortogonal
Dois sinais x (t) ey (t) são ditos ortogonais se satisfizerem as duas condições a seguir.
Condition 1 - $\int_{-\infty}^{\infty}x(t)y(t) = 0$ [para sinal não periódico]
Condition 2 - $\int x(t)y(t) = 0$ [Para sinal periódico]
Os sinais, que contêm harmônicos ímpares ( 3º , 5º , 7º ... etc.) e têm frequências diferentes, são mutuamente ortogonais entre si.
Em sinais de tipo trigonométrico, as funções seno e cosseno também são ortogonais entre si; desde que tenham a mesma frequência e estejam na mesma fase. Da mesma forma, os sinais DC (sinais de corrente contínua) e senoidais também são ortogonais entre si. Se x (t) e y (t) são dois sinais ortogonais e$z(t) = x(t)+y(t)$ então a potência e a energia de z (t) podem ser escritas como;
$$P(z) = p(x)+p(y)$$ $$E(z) = E(x)+E(y)$$Exemplo
Analise o sinal: $z(t) = 3+4\sin(2\pi t+30^0)$
Aqui, o sinal é composto por um sinal DC (3) e uma função seno. Portanto, por propriedade, este sinal é um sinal ortogonal e os dois sub-sinais nele são mutuamente ortogonais entre si.
Mudança significa movimento do sinal, seja no domínio do tempo (em torno do eixo Y) ou no domínio da amplitude (em torno do eixo X). Assim, podemos classificar a mudança em duas categorias denominadas como Mudança no tempo e Mudança na amplitude, que são discutidas posteriormente a seguir.
Time Shifting
Significa mudança de tempo, mudança de sinais no domínio do tempo. Matematicamente, pode ser escrito como
$$x(t) \rightarrow y(t+k)$$Este valor de K pode ser positivo ou negativo. De acordo com o sinal do valor k, temos dois tipos de deslocamento denominados deslocamento para a direita e deslocamento para a esquerda.
Caso 1 (K> 0)
Quando K é maior que zero, o deslocamento do sinal ocorre para a "esquerda" no domínio do tempo. Portanto, esse tipo de deslocamento é conhecido como deslocamento para a esquerda do sinal.
Example
Caso 2 (K <0)
Quando K é menor que zero, o deslocamento do sinal ocorre para a direita no domínio do tempo. Portanto, esse tipo de deslocamento é conhecido como deslocamento para a direita.
Example
A figura abaixo mostra o deslocamento para a direita de um sinal em 2.
Mudança de amplitude
Mudança de amplitude significa mudança de sinal no domínio de amplitude (em torno do eixo X). Matematicamente, pode ser representado como -
$$x(t) \rightarrow x(t)+K$$Este valor de K pode ser positivo ou negativo. Consequentemente, temos dois tipos de mudança de amplitude que são discutidos a seguir.
Caso 1 (K> 0)
Quando K é maior que zero, o deslocamento do sinal ocorre para cima no eixo x. Portanto, esse tipo de deslocamento é conhecido como deslocamento para cima.
Example
Vamos considerar um sinal x (t) que é dado como;
$$x = \begin{cases}0, & t < 0\\1, & 0\leq t\leq 2\\ 0, & t>0\end{cases}$$Vamos tomar K = + 1 para que o novo sinal possa ser escrito como -
$y(t) \rightarrow x(t)+1$ Portanto, y (t) pode finalmente ser escrito como;
$$x(t) = \begin{cases}1, & t < 0\\2, & 0\leq t\leq 2\\ 1, & t>0\end{cases}$$Caso 2 (K <0)
Quando K é menor que zero, o deslocamento do sinal ocorre para baixo no eixo X. Portanto, é chamado de deslocamento para baixo do sinal.
Example
Vamos considerar um sinal x (t) que é dado como;
$$x(t) = \begin{cases}0, & t < 0\\1, & 0\leq t\leq 2\\ 0, & t>0\end{cases}$$Vamos tomar K = -1 para que o novo sinal possa ser escrito como;
$y(t)\rightarrow x(t)-1$ Portanto, y (t) pode finalmente ser escrito como;
$$y(t) = \begin{cases}-1, & t < 0\\0, & 0\leq t\leq 2\\ -1, & t>0\end{cases}$$A escala de um sinal significa que uma constante é multiplicada pelo tempo ou amplitude do sinal.
Escala de tempo
Se uma constante é multiplicada pelo eixo do tempo, ela é conhecida como escala de tempo. Isso pode ser representado matematicamente como;
$x(t) \rightarrow y(t) = x(\alpha t)$ ou $x(\frac{t}{\alpha})$; onde α ≠ 0
Assim, sendo o eixo y o mesmo, a magnitude do eixo x diminui ou aumenta de acordo com o sinal da constante (seja positiva ou negativa). Portanto, o dimensionamento também pode ser dividido em duas categorias, conforme discutido abaixo.
Compressão de tempo
Sempre que alfa é maior que zero, a amplitude do sinal é dividida por alfa, enquanto o valor do eixo Y permanece o mesmo. Isso é conhecido como compactação de tempo.
Example
Vamos considerar um sinal x (t), que é mostrado na figura abaixo. Vamos considerar o valor de alfa como 2. Portanto, y (t) será x (2t), o que é ilustrado na figura fornecida.
Claramente, podemos ver nas figuras acima que a magnitude do tempo no eixo y permanece a mesma, mas a amplitude no eixo x reduz de 4 para 2. Portanto, é um caso de compressão de tempo.
Expansão de Tempo
Quando o tempo é dividido pelo alfa constante, a magnitude do eixo Y do sinal é multiplicada por alfa, mantendo a magnitude do eixo X como está. Portanto, isso é chamado de sinal do tipo de expansão de tempo.
Example
Vamos considerar um sinal quadrado x (t), de magnitude 1. Quando dimensionamos no tempo por uma constante 3, de modo que $x(t) \rightarrow y(t) \rightarrow x(\frac{t}{3})$, então a amplitude do sinal é modificada em 3 vezes, o que é mostrado na figura abaixo.
Escala de Amplitude
A multiplicação de uma constante com a amplitude do sinal causa uma escala de amplitude. Dependendo do sinal da constante, pode ser escala de amplitude ou atenuação. Vamos considerar um sinal de onda quadrada x (t) = Π (t / 4).
Suponha que definamos outra função y (t) = 2 Π (t / 4). Neste caso, o valor do eixo y será duplicado, mantendo o valor do eixo do tempo como está. O é ilustrado na figura abaixo.
Considere outra função de onda quadrada definida como z (t) onde z (t) = 0,5 Π (t / 4). Aqui, a amplitude da função z (t) será a metade de x (t), ou seja, o eixo do tempo permanece o mesmo, o eixo da amplitude será reduzido à metade. Isso é ilustrado pela figura abaixo.
Sempre que o tempo em um sinal é multiplicado por -1, o sinal é revertido. Ele produz sua imagem espelhada sobre o eixo Y ou X. Isso é conhecido como reversão do sinal.
A reversão pode ser classificada em dois tipos com base na condição se o tempo ou a amplitude do sinal é multiplicado por -1.
Inversão de Tempo
Sempre que o tempo do sinal é multiplicado por -1, é conhecido como reversão do tempo do sinal. Nesse caso, o sinal produz sua imagem espelhada sobre o eixo Y. Matematicamente, isso pode ser escrito como;
$$x(t) \rightarrow y(t) \rightarrow x(-t)$$Isso pode ser melhor compreendido pelo exemplo a seguir.
No exemplo acima, podemos ver claramente que o sinal foi revertido em relação ao eixo Y. Portanto, também é um tipo de escala de tempo, mas aqui a quantidade de escala é (-1) sempre.
Inversão de amplitude
Sempre que a amplitude de um sinal é multiplicada por -1, isso é conhecido como reversão de amplitude. Nesse caso, o sinal produz sua imagem espelhada sobre o eixo X. Matematicamente, isso pode ser escrito como;
$$x(t)\rightarrow y(t)\rightarrow -x(t)$$Considere o seguinte exemplo. A reversão da amplitude pode ser vista claramente.
Duas operações muito importantes realizadas nos sinais são Diferenciação e Integração.
Diferenciação
A diferenciação de qualquer sinal x (t) significa a representação do declive desse sinal em relação ao tempo. Matematicamente, é representado como;
$$x(t)\rightarrow \frac{dx(t)}{dt}$$No caso da diferenciação OPAMP, essa metodologia é muito útil. Podemos facilmente diferenciar um sinal graficamente em vez de usar a fórmula. No entanto, a condição é que o sinal seja do tipo retangular ou triangular, o que acontece na maioria dos casos.
Sinal Original | Sinal Diferenciado |
---|---|
Rampa | Degrau |
Degrau | Impulso |
Impulso | 1 |
A tabela acima ilustra a condição do sinal após ser diferenciado. Por exemplo, um sinal de rampa se converte em um sinal de degrau após a diferenciação. Da mesma forma, um sinal de etapa de unidade torna-se um sinal de impulso.
Exemplo
Que o sinal que nos foi dado seja $x(t) = 4[r(t)-r(t-2)]$. Quando este sinal é plotado, ele se parecerá com o do lado esquerdo da figura abaixo. Agora, nosso objetivo é diferenciar o sinal dado.
Para começar, vamos começar diferenciando a equação dada. Sabemos que o sinal de rampa após a diferenciação fornece um sinal de etapa unitária.
Portanto, nosso sinal resultante y (t) pode ser escrito como;
$y(t) = \frac{dx(t)}{dt}$
$= \frac{d4[r(t)-r(t-2)]}{dt}$
$= 4[u(t)-u(t-2)]$
Agora, este sinal é plotado finalmente, o que é mostrado no lado direito da figura acima.
Integração de qualquer sinal significa a soma desse sinal em domínio de tempo particular para obter um sinal modificado. Matematicamente, isso pode ser representado como -
$$x(t)\rightarrow y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(t)dt$$Aqui também, na maioria dos casos, podemos fazer integração matemática e encontrar o sinal resultante, mas a integração direta em rápida sucessão é possível para sinais que são representados graficamente em formato retangular. Assim como a diferenciação, aqui também iremos consultar uma tabela para obter o resultado rapidamente.
Sinal Original | Sinal Integrado |
---|---|
1 | impulso |
Impulso | degrau |
Degrau | Rampa |
Exemplo
Vamos considerar um sinal $x(t) = u(t)-u(t-3)$. É mostrado na Fig-1 abaixo. Claramente, podemos ver que é um sinal de degrau. Agora vamos integrá-lo. Referindo-se à tabela, sabemos que a integração do sinal de degrau produz um sinal de rampa.
No entanto, vamos calculá-lo matematicamente,
$y(t) = \int_{-\infty}^{t}x(t)dt$
$= \int_{-\infty}^{t}[u(t)-u(t-3)]dt$
$= \int_{-\infty}^{t}u(t)dt-\int_{-\infty}^{t}u(t-3)dt$
$= r(t)-r(t-3)$
O mesmo é plotado como mostrado na fig-2,
A convolução de dois sinais no domínio do tempo é equivalente à multiplicação de sua representação no domínio da frequência. Matematicamente, podemos escrever a convolução de dois sinais como
$$y(t) = x_{1}(t)*x_{2}(t)$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(p).x_{2}(t-p)dp$$Passos para convolução
- Pegue o sinal x 1 (t) e coloque t = p lá para que seja x 1 (p).
- Pegue o sinal x 2 (t) e execute o passo 1 e faça-o x 2 (p).
- Faça o dobramento do sinal, ou seja, x 2 (-p).
- Faça a mudança de tempo do sinal acima x 2 [- (pt)]
- Em seguida, faça a multiplicação de ambos os sinais. ie$x_{1}(p).x_{2}[−(p−t)]$
Exemplo
Vamos fazer a convolução de um sinal degrau u (t) com seu próprio tipo.
$y(t) = u(t)*u(t)$
$= \int_{-\infty}^{\infty}[u(p).u[-(p-t)]dp$
Agora, este t pode ser maior ou menor que zero, que são mostrados nas figuras abaixo
Assim, com o caso acima, o resultado surge com as seguintes possibilidades
$y(t) = \begin{cases}0, & if\quad t<0\\\int_{0}^{t}1dt, & for\quad t>0\end{cases}$
$= \begin{cases}0, & if\quad t<0\\t, & t>0\end{cases} = r(t)$
Propriedades de convolução
Comutativo
Afirma que a ordem de convolução não importa, o que pode ser mostrado matematicamente como
$$x_{1}(t)*x_{2}(t) = x_{2}(t)*x_{1}(t)$$Associativo
Afirma que a ordem de convolução envolvendo três sinais pode ser qualquer coisa. Matematicamente, pode ser mostrado como;
$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)*x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)]*x_{3}(t)$$Distributiva
Dois sinais podem ser adicionados primeiro e, em seguida, sua convolução pode ser feita para o terceiro sinal. Isso é equivalente à convolução de dois sinais individualmente com o terceiro sinal e adicionado finalmente. Matematicamente, isso pode ser escrito como;
$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)+x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)+x_{1}(t)*x_{3}(t)]$$Área
Se um sinal é o resultado da convolução de dois sinais, a área do sinal é a multiplicação desses sinais individuais. Matematicamente, isso pode ser escrito
E se $y(t) = x_{1}*x_{2}(t)$
Então, Área de y (t) = Área de x 1 (t) X Área de x 2 (t)
Dimensionamento
Se dois sinais forem escalados para alguma constante desconhecida “a” e a convolução for feita, o sinal resultante também será convoluído para a mesma constante “a” e será dividido por essa quantidade conforme mostrado abaixo.
E se, $x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$
Então, $x_{1}(at)*x_{2}(at) = \frac{y(at)}{a}, a \ne 0$
Demora
Suponha que um sinal y (t) seja o resultado da convolução de dois sinais x1 (t) e x2 (t). Se os dois sinais são atrasados por tempo t1 e t2 respectivamente, então o sinal resultante y (t) será atrasado por (t1 + t2). Matematicamente, pode ser escrito como -
E se, $x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$
Então, $x_{1}(t-t_{1})*x_{2}(t-t_{2}) = y[t-(t_{1}+t_{2})]$
Exemplos resolvidos
Example 1 - Encontre a convolução dos sinais u (t-1) e u (t-2).
Solution- Os sinais dados são u (t-1) e u (t-2). Sua convolução pode ser feita conforme mostrado abaixo -
$y(t) = u(t-1)*u(t-2)$
$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}[u(t-1).u(t-2)]dt$
$= r(t-1)+r(t-2)$
$= r(t-3)$
Example 2 - Encontre a convolução de dois sinais dados por
$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $
$x_{2}(n) = \begin{cases}2, & 0\leq n\leq 4\\0, & x > elsewhere\end{cases}$
Solution -
x 2 (n) pode ser decodificado como$x_{2}(n) = \lbrace 2,2,2,2,2\rbrace Originalfirst$
x 1 (n) é dado anteriormente$= \lbrace 3,-2,3\rbrace = 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$
Similarmente, $x_{2}(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$
Sinal resultante,
$X(Z) = X_{1}(Z)X_{2}(z)$
$= \lbrace 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}\rbrace \times \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}\rbrace$
$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+6Z^{-4}+6Z^{-5}$
Tomando a transformação Z inversa do acima, obteremos o sinal resultante como
$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4\rbrace$ Origem no primeiro
Example 3 - Determine a convolução dos 2 sinais seguintes -
$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$
$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$
Solution -
Tomando a transformação Z dos sinais, obtemos,
$x(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}$
E $h(n) = 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}$
Agora a convolução de dois sinais significa multiplicação de suas transformações Z
Isso é $Y(Z) = X(Z) \times h(Z)$
$= \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}\rbrace \times \lbrace 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}\rbrace$
$= \lbrace 2+5Z^{-1}+8Z^{-2}+6Z^{-3}+3Z^{-4}+3Z^{-5}+Z^{-6}\rbrace$
Tomando a transformação Z inversa, o sinal resultante pode ser escrito como;
$y(n) = \lbrace 2,5,8,6,6,1 \rbrace Originalfirst$
Alguns sistemas têm feedback e outros não. Aqueles que não possuem sistemas de feedback, sua saída depende apenas dos valores presentes da entrada. O valor anterior dos dados não está presente naquele momento. Esses tipos de sistemas são conhecidos como sistemas estáticos. Também não depende de valores futuros.
Como esses sistemas não possuem nenhum registro anterior, eles também não possuem nenhuma memória. Portanto, dizemos que todos os sistemas estáticos são sistemas sem memória. Vamos dar um exemplo para entender muito melhor esse conceito.
Exemplo
Vamos verificar se os seguintes sistemas são estáticos ou não.
- $y(t) = x(t)+x(t-1)$
- $y(t) = x(2t)$
- $y(t) = x = \sin [x(t)]$
a) $y(t) = x(t)+x(t-1)$
Aqui, x (t) é o valor presente. Não tem relação com os valores passados da época. Portanto, é um sistema estático. Porém, no caso de x (t-1), se colocarmos t = 0, ele se reduzirá para x (-1), que é uma dependência do valor passado. Portanto, não é estático. Portanto, aqui y (t) não é um sistema estático.
b) $y(t) = x(2t)$
Se substituirmos t = 2, o resultado será y (t) = x (4). Novamente, é dependente do valor futuro. Portanto, também não é um sistema estático.
c) $y(t) = x = \sin [x(t)]$
Nesta expressão, estamos lidando com a função seno. O intervalo da função seno está entre -1 e +1. Portanto, quaisquer que sejam os valores que substituirmos por x (t), ficaremos entre -1 e +1. Portanto, podemos dizer que não depende de nenhum valor passado ou futuro. Portanto, é um sistema estático.
A partir dos exemplos acima, podemos tirar as seguintes conclusões -
- Qualquer sistema com time shifting não é estático.
- Qualquer sistema com mudança de amplitude também não é estático.
- Os casos de integração e diferenciação também não são estáticos.
Se um sistema depende do valor passado e futuro do sinal em qualquer instante do tempo, ele é conhecido como sistema dinâmico. Ao contrário dos sistemas estáticos, estes não são sistemas sem memória. Eles armazenam valores passados e futuros. Portanto, eles requerem alguma memória. Vamos entender melhor essa teoria por meio de alguns exemplos.
Exemplos
Descubra se os seguintes sistemas são dinâmicos.
a) $y(t) = x(t+1)$
Nesse caso, se colocarmos t = 1 na equação, ele será convertido para x (2), que é um valor futuro dependente. Porque aqui estamos dando entrada como 1, mas está mostrando valor para x (2). Como é um sinal dependente do futuro, é evidente que é um sistema dinâmico.
b) $y(t) = Real[x(t)]$
$$= \frac{[x(t)+x(t)^*]}{2}$$Neste caso, qualquer que seja o valor que colocarmos, ele mostrará aquele sinal de valor real de tempo. Não tem dependência de valores futuros ou passados. Portanto, não é um sistema dinâmico, mas sim um sistema estático.
c) $y(t) = Even[x(t)]$
$$= \frac{[x(t)+x(-t)]}{2}$$Aqui, se substituirmos t = 1, um sinal mostrará x (1) e outro mostrará x (-1), que é um valor passado. Da mesma forma, se colocarmos t = -1, um sinal mostrará x (-1) e outro mostrará x (1), que é um valor futuro. Portanto, claramente é um caso de sistema dinâmico.
d) $y(t) = \cos [x(t)]$
Neste caso, como o sistema é uma função cosseno, ele possui um certo domínio de valores que se situa entre -1 e +1. Portanto, quaisquer que sejam os valores que colocarmos, obteremos o resultado dentro do limite especificado. Portanto, é um sistema estático
A partir dos exemplos acima, podemos tirar as seguintes conclusões -
- Todos os sinais de casos de deslocamento de tempo são sinais dinâmicos.
- Também no caso de escala de tempo, todos os sinais são sinais dinâmicos.
- Os sinais dos casos de integração são sinais dinâmicos.
Anteriormente, vimos que o sistema precisa ser independente dos valores futuros e passados para se tornar estático. Nesse caso, a condição é quase a mesma com poucas modificações. Aqui, para que o sistema seja causal, ele deve ser independente apenas dos valores futuros. Isso significa que a dependência passada não causará nenhum problema para o sistema se tornar causal.
Os sistemas causais são sistemas realizáveis prática ou fisicamente. Vamos considerar alguns exemplos para entender isso muito melhor.
Exemplos
Vamos considerar os seguintes sinais.
a) $y(t) = x(t)$
Aqui, o sinal depende apenas dos valores presentes de x. Por exemplo, se substituirmos t = 3, o resultado será mostrado apenas para aquele instante de tempo. Portanto, como não depende de valor futuro, podemos chamá-lo de sistema Causal.
b) $y(t) = x(t-1)$
Aqui, o sistema depende de valores anteriores. Por exemplo, se substituirmos t = 3, a expressão será reduzida para x (2), que é um valor passado em relação à nossa entrada. Em nenhuma instância, depende de valores futuros. Portanto, esse sistema também é um sistema causal.
c) $y(t) = x(t)+x(t+1)$
Nesse caso, o sistema possui duas partes. A parte x (t), como discutimos anteriormente, depende apenas dos valores presentes. Portanto, não há problema com isso. No entanto, se tomarmos o caso de x (t + 1), depende claramente dos valores futuros porque se colocarmos t = 1, a expressão se reduzirá a x (2) que é o valor futuro. Portanto, não é causal.
Um sistema não causal é exatamente o oposto do sistema causal. Se um sistema depende dos valores futuros da entrada em qualquer instante do tempo, então o sistema é considerado um sistema não causal.
Exemplos
Vamos dar alguns exemplos e tentar entender isso de uma maneira melhor.
a) $y(t) = x(t+1)$
Já discutimos esse sistema no sistema causal também. Para qualquer entrada, ele reduzirá o sistema ao seu valor futuro. Por exemplo, se colocarmos t = 2, ele se reduzirá para x (3), que é um valor futuro. Portanto, o sistema é Não Causal.
b) $y(t) = x(t)+x(t+2)$
Nesse caso, x (t) é puramente uma função dependente do valor presente. Já discutimos que a função x (t + 2) é dependente do futuro porque para t = 3 ela fornecerá valores para x (5). Portanto, é não causal.
c) $y(t) = x(t-1)+x(t)$
Nesse sistema, depende dos valores presentes e passados da entrada fornecida. Quaisquer valores que substituamos, ele nunca mostrará qualquer dependência futura. Claramente, não é um sistema não causal; antes, é um sistema causal.
Um sistema anti-causal é apenas uma versão um pouco modificada de um sistema não causal. O sistema depende apenas dos valores futuros da entrada. Não tem dependência de valores presentes ou passados.
Exemplos
Descubra se os seguintes sistemas são anti-causais.
a) $y(t) = x(t)+x(t-1)$
O sistema possui duas subfunções. Uma subfunção x (t + 1) depende do valor futuro da entrada, mas outra subfunção x (t) depende apenas do presente. Como o sistema depende do valor presente também além do valor futuro, esse sistema não é anti-causal.
b) $y(t) = x(t+3)$
Se analisarmos o sistema acima, podemos ver que o sistema depende apenas dos valores futuros do sistema, ou seja, se colocarmos t = 0, ele se reduzirá a x (3), que é um valor futuro. Este sistema é um exemplo perfeito de sistema anti-causal.
Um sistema linear segue as leis da superposição. Esta lei é condição necessária e suficiente para comprovar a linearidade do sistema. Além disso, o sistema é uma combinação de dois tipos de leis -
- Lei da aditividade
- Lei da homogeneidade
Tanto a lei da homogeneidade quanto a lei da aditividade são mostradas nas figuras acima. No entanto, existem algumas outras condições para verificar se o sistema é linear ou não.
The conditions are -
- A saída deve ser zero para entrada zero.
- Não deve haver nenhum operador não linear presente no sistema.
Exemplos de operadores não lineares -
(a) Operadores trigonométricos - Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Cosec etc.
(b) Exponencial, logarítmico, módulo, quadrado, cubo etc.
(c) sa (i / p), Sinc (i / p), Sqn (i / p) etc.
A entrada x ou a saída y não devem ter esses operadores não lineares.
Exemplos
Vamos descobrir se os seguintes sistemas são lineares.
a) $y(t) = x(t)+3$
Este sistema não é linear porque viola a primeira condição. Se colocarmos a entrada como zero, fazendo x (t) = 0, então a saída não será zero.
b) $y(t) = \sin tx(t)$
Neste sistema, se dermos entrada como zero, a saída se tornará zero. Portanto, a primeira condição está claramente satisfeita. Novamente, não há nenhum operador não linear que foi aplicado em x (t). Portanto, a segunda condição também é satisfeita. Portanto, o sistema é um sistema linear.
c) $y(t) = \sin (x(t))$
No sistema acima, a primeira condição é satisfeita porque se colocarmos x (t) = 0, a saída também será sin (0) = 0. No entanto, a segunda condição não é satisfeita, pois há um operador não linear que opera x (t). Portanto, o sistema não é linear.
Se quisermos definir este sistema, podemos dizer que os sistemas, que não são lineares, são sistemas não lineares. Claramente, todas as condições, que estão sendo violadas nos sistemas lineares, devem ser satisfeitas neste caso.
Condições
A saída não deve ser zero quando a entrada aplicada for zero.
Qualquer operador não linear pode ser aplicado na entrada ou na saída para tornar o sistema não linear.
Exemplos
Para descobrir se os sistemas dados são lineares ou não lineares.
a) $y(t) = e^{x(t)}$
No sistema acima, a primeira condição é satisfeita porque se tornarmos a entrada zero, a saída é 1. Além disso, o operador não linear exponencial é aplicado à entrada. Claramente, é um caso de sistema não linear.
b) $y(t) = x(t+1)+x(t-1)$
O tipo de sistema acima lida com valores passados e futuros. No entanto, se fizermos sua entrada zero, nenhum de seus valores existe. Portanto, podemos dizer que se a entrada é zero, então a versão da entrada com escala de tempo e com deslocamento de tempo também será zero, o que viola nossa primeira condição. Novamente, não há nenhum operador não linear presente. Portanto, a segunda condição também é violada. Claramente, este sistema não é um sistema não linear; em vez disso, é um sistema linear.
Para um sistema invariante no tempo, a saída e a entrada devem ser atrasadas por alguma unidade de tempo. Qualquer atraso fornecido na entrada deve ser refletido na saída para um sistema invariante no tempo.
Exemplos
a) $y(T) = x(2T)$
Se for a expressão acima, ela é passada primeiro pelo sistema e depois pelo retardo de tempo (conforme mostrado na parte superior da figura); então a saída se tornará$x(2T-2t)$. Agora, a mesma expressão é passada primeiro por um intervalo de tempo e depois pelo sistema (conforme mostrado na parte inferior da figura). A saída se tornará$x(2T-t)$.
Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
b) $y(T) = \sin [x(T)]$
Se o sinal for transmitido primeiro pelo sistema e depois pelo processo de retardo, a saída será $\sin x(T-t)$. Da mesma forma, se o sistema passar pelo atraso de tempo primeiro, depois pelo sistema, a saída será$\sin x(T-t)$. Podemos ver claramente que ambas as saídas são as mesmas. Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Para um sistema de variação de tempo, também, a saída e a entrada devem ser atrasadas por alguma constante de tempo, mas o atraso na entrada não deve refletir na saída. Todos os casos de escala de tempo são exemplos de sistema de variação de tempo. Da mesma forma, quando o coeficiente na relação do sistema é uma função do tempo, o sistema também é uma variante do tempo.
Exemplos
a) $y(t) = x[\cos T]$
Se o sinal acima for passado primeiro pelo sistema e depois pelo atraso, a saída será $x\cos (T-t)$. Se passar primeiro pelo retardo de tempo e depois pelo sistema, será$x(\cos T-t)$. Como as saídas não são iguais, o sistema é variante do tempo.
b) $y(T) = \cos T.x(T)$
Se a expressão acima for passada primeiro pelo sistema e depois pelo atraso, a saída será $\cos(T-t)x(T-t)$. No entanto, se a expressão for passada primeiro pelo retardo de tempo e depois pelo sistema, a saída será$\cos T.x(T-t)$. Como as saídas não são as mesmas, fica claro que o sistema é uma variante do tempo.
Um sistema estável satisfaz a condição BIBO (entrada limitada para saída limitada). Aqui, limitado significa finito em amplitude. Para um sistema estável, a saída deve ser limitada ou finita, para entrada finita ou limitada, a cada instante de tempo.
Alguns exemplos de entradas limitadas são funções de seno, cosseno, DC, signum e passo unitário.
Exemplos
a) $y(t) = x(t)+10$
Aqui, para uma entrada limitada definida, podemos obter uma saída limitada definida, ou seja, se colocarmos $x(t) = 2, y(t) = 12$que é limitado por natureza. Portanto, o sistema é estável.
b) $y(t) = \sin [x(t)]$
Na expressão dada, sabemos que as funções seno têm um limite definido de valores, que fica entre -1 e +1. Portanto, quaisquer que sejam os valores que substituiremos em x (t), obteremos os valores dentro de nosso limite. Portanto, o sistema é estável.
Os sistemas instáveis não satisfazem as condições BIBO. Portanto, para uma entrada limitada, não podemos esperar uma saída limitada no caso de sistemas instáveis.
Exemplos
a) $y(t) = tx(t)$
Aqui, para uma entrada finita, não podemos esperar uma saída finita. Por exemplo, se colocarmos$x(t) = 2 \Rightarrow y(t) = 2t$. Este não é um valor finito porque não sabemos o valor de t. Portanto, ele pode ser variado de qualquer lugar. Portanto, este sistema não é estável. É um sistema instável.
b) $y(t) = \frac{x(t)}{\sin t}$
Já discutimos anteriormente que a função seno tem um intervalo definido de -1 a +1; mas aqui, está presente no denominador. Portanto, na pior das hipóteses, se colocarmos t = 0 e a função seno se tornar zero, todo o sistema tenderá para o infinito. Portanto, este tipo de sistema não é nada estável. Obviamente, este é um sistema instável.
Example 1 - Verifique se $y(t) = x*(t)$ é linear ou não linear.
Solution- A função representa o conjugado da entrada. Ela pode ser verificada pela primeira lei da homogeneidade e pela lei da aditividade ou pelas duas regras. No entanto, verificar por meio de regras é muito mais fácil, então vamos seguir isso.
Se a entrada para o sistema for zero, a saída também tende a zero. Portanto, nossa primeira condição é satisfeita. Não há operador não linear usado na entrada nem na saída. Portanto, o sistema é Linear.
Example 2 - Verifique se $y(t)=\begin{cases}x(t+1), & t > 0\\x(t-1), & t\leq 0\end{cases}$ é linear ou não linear
Solution- Claramente, podemos ver que quando o tempo se torna menor ou igual a zero, a entrada se torna zero. Portanto, podemos dizer que na entrada zero a saída também é zero e nossa primeira condição é satisfeita.
Novamente, não há nenhum operador não linear usado na entrada nem na saída. Portanto, o sistema é Linear.
Example 3 - Verifique se $y(t) = \sin t.x(t)$ é estável ou não.
Solution - Suponha que tomamos o valor de x (t) como 3. Aqui, a função seno foi multiplicada por ela e os valores máximo e mínimo da função seno variam entre -1 e +1.
Portanto, os valores máximo e mínimo de toda a função também variam entre -3 e +3. Portanto, o sistema é estável porque aqui estamos obtendo uma entrada limitada para uma saída limitada.
A Transformação de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) existe para sinais de energia e potência. A transformada Z também existe para sinais do tipo energia ou potência (NENP), apenas até certo ponto. A substituição$z=e^{jw}$ é usado para conversão de transformada Z em DTFT apenas para sinal absolutamente somaável.
Assim, a transformada Z do sinal de tempo discreto x (n) em uma série de potências pode ser escrita como -
$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$A equação acima representa uma equação de transformação Z de dois lados.
Geralmente, quando um sinal é transformado em Z, ele pode ser representado como -
$$X(Z) = Z[x(n)]$$Ou $x(n) \longleftrightarrow X(Z)$
Se for um sinal de tempo contínuo, as transformações Z não são necessárias porque as transformações de Laplace são usadas. No entanto, os sinais de tempo discreto podem ser analisados por meio de transformações Z apenas.
Região de Convergência
Região de convergência é a faixa de variável complexa Z no plano Z. A transformação Z do sinal é finita ou convergente. Portanto, ROC representa aquele conjunto de valores de Z, para os quais X (Z) tem um valor finito.
Propriedades de ROC
- ROC não inclui nenhum pólo.
- Para o sinal do lado direito, ROC estará fora do círculo no plano Z.
- Para o sinal do lado esquerdo, ROC estará dentro do círculo no plano Z.
- Para estabilidade, ROC inclui círculo unitário no plano Z.
- Para o sinal de ambos os lados, ROC é um anel no plano Z.
- Para sinal de duração finita, ROC é o plano Z completo.
A transformada Z é caracterizada exclusivamente por -
- Expressão de X (Z)
- ROC de X (Z)
Sinais e seu ROC
x (n) | X (Z) | ROC |
---|---|---|
$\delta(n)$ | $1$ | Plano Z inteiro |
$U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | Mod (Z)> 1 |
$a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | Mod (Z)> Mod (a) |
$-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | Mod (Z) <Mod (a) |
$na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod (Z)> Mod (a) |
$-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod (Z) <Mod (a) |
$U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod (Z)> 1 |
$U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod (Z)> 1 |
Exemplo
Vamos encontrar a transformada Z e o ROC de um sinal dado como $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5\rbrace$, onde a origem da série está em 3.
Solution - Aplicando a fórmula que temos -
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$
$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$
$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$
ROC é todo o plano Z excluindo Z = 0, ∞, -∞
Neste capítulo, vamos entender as propriedades básicas das transformadas Z.
Linearidade
Ele afirma que, quando dois ou mais sinais discretos individuais são multiplicados por constantes, suas respectivas transformadas Z também serão multiplicadas pelas mesmas constantes.
Matematicamente,
$$a_1x_1(n)+a_2x_2(n) = a_1X_1(z)+a_2X_2(z)$$Proof - Nós sabemos disso,
$$X(Z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$$= \sum_{n=-\infty}^\infty (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))Z^{-n}$
$= a_1\sum_{n = -\infty}^\infty x_1(n)Z^{-n}+a_2\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n)Z^{-n}$
$= a_1X_1(z)+a_2X_2(z)$ (Provado portanto)
Aqui, o ROC é $ROC_1\bigcap ROC_2$.
Time Shifting
A propriedade de deslocamento de tempo descreve como a mudança no domínio do tempo no sinal discreto afetará o domínio Z, que pode ser escrito como;
$$x(n-n_0)\longleftrightarrow X(Z)Z^{-n}$$Ou $x(n-1)\longleftrightarrow Z^{-1}X(Z)$
Proof -
Deixei $y(P) = X(P-K)$
$Y(z) = \sum_{p = -\infty}^\infty y(p)Z^{-p}$
$= \sum_{p = -\infty}^\infty (x(p-k))Z^{-p}$
Seja s = pk
$= \sum_{s = -\infty}^\infty x(s)Z^{-(s+k)}$
$= \sum_{s = -\infty}^\infty x(s)Z^{-s}Z^{-k}$
$= Z^{-k}[\sum_{s=-\infty}^\infty x(m)Z^{-s}]$
$= Z^{-k}X(Z)$ (Provado portanto)
Aqui, ROC pode ser escrito como Z = 0 (p> 0) ou Z = ∞ (p <0)
Exemplo
U (n) e U (n-1) podem ser plotados da seguinte forma
A transformação de Z de U (n) pode ser escrita como;
$\sum_{n = -\infty}^\infty [U(n)]Z^{-n} = 1$
A transformação Z de U (n-1) pode ser escrita como;
$\sum_{n = -\infty}^\infty [U(n-1)]Z^{-n} = Z^{-1}$
Então aqui $x(n-n_0) = Z^{-n_0}X(Z)$ (Provado portanto)
Escala de tempo
A propriedade Time Scaling nos diz qual será o domínio Z do sinal quando o tempo for escalado em sua forma discreta, que pode ser escrita como;
$$a^nx(n) \longleftrightarrow X(a^{-1}Z)$$Proof -
Deixei $y(p) = a^{p}x(p)$
$Y(P) = \sum_{p=-\infty}^\infty y(p)Z^{-p}$
$= \sum_{p=-\infty}^\infty a^px(p)Z^{-p}$
$= \sum_{p=-\infty}^\infty x(p)[a^{-1}Z]^{-p}$
$= X(a^{-1}Z)$(Provado daí)
ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) onde Mod = Módulo
Exemplo
Vamos determinar a transformação Z de $x(n) = a^n \cos \omega n$ usando a propriedade de escala de tempo.
Solution -
Já sabemos que a transformação Z do sinal $\cos (\omega n)$ é dado por -
$$\sum_{n=-\infty}^\infty(\cos \omega n)Z^{-n} = (Z^2-Z \cos \omega)/(Z^2-2Z\cos \omega +1)$$
Agora, aplicando a propriedade de escala de tempo, a transformação Z de $a^n \cos \omega n$ pode ser escrito como;
$\sum_{n=-\infty}^\infty(a^n\cos \omega n)Z^{-n} = X(a^{-1}Z)$
$= [(a^{-1}Z)^2-(a^{-1}Z \cos \omega n)]/((a^{-1}Z)^2-2(a^{-1}Z \cos \omega n)+1)$
$= Z(Z-a \cos \omega)/(Z^2-2az \cos \omega+a^2)$
Diferenciação Sucessiva
A propriedade de diferenciação sucessiva mostra que a transformada Z ocorrerá quando diferenciarmos o sinal discreto no domínio do tempo, em relação ao tempo. Isso é mostrado abaixo.
$$\frac{dx(n)}{dn} = (1-Z^{-1})X(Z)$$Proof -
Considere o LHS da equação - $\frac{dx(n)}{dn}$
$$= \frac{[x(n)-x(n-1)]}{[n-(n-1)]}$$$= x(n)-X(n-1)$
$= x(Z)-Z^{-1}x(Z)$
$= (1-Z^{-1})x(Z)$ (Provado portanto)
ROC: R1 <Mod (Z) <R2
Exemplo
Vamos encontrar a transformada Z de um sinal dado por $x(n) = n^2u(n)$
Por propriedade podemos escrever
$Zz[nU(n)] = -Z\frac{dZ[U(n)]}{dz}$
$= -Z\frac{d[\frac{Z}{Z-1}]}{dZ}$
$= Z/((Z-1)^2$
$= y(let)$
Agora, Z [ny] pode ser descoberto aplicando novamente a propriedade,
$Z(n,y) = -Z\frac{dy}{dz}$
$= -Z\frac{d[Z/(Z-1)^3]}{dz}$
$= Z(Z+1)/(Z-1)^2$
Convolução
Isso representa a mudança no domínio Z do sistema quando uma convolução ocorre na forma de sinal discreto, que pode ser escrito como -
$x_1(n)*x_2(n) \longleftrightarrow X_1(Z).X_2(Z)$
Proof -
$X(Z) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-\infty}^\infty[\sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)x_2(n-k)]Z^{-n}$
$= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)[\sum_n^\infty x_2(n-k)Z^{-n}]$
$= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)[\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n-k)Z^{-(n-k)}Z^{-k}]$
Seja nk = l, então a equação acima pode ser escrita como -
$X(Z) = \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)[Z^{-k}\sum_{l=-\infty}^\infty x_2(l)Z^{-l}]$
$= \sum_{k = -\infty}^\infty x_1(k)X_2(Z)Z^{-k}$
$= X_2(Z)\sum_{k = -\infty}^\infty x_1(Z)Z^{-k}$
$= X_1(Z).X_2(Z)$ (Provado portanto)
ROC:$ROC\bigcap ROC2$
Exemplo
Vamos encontrar a convolução dada por dois sinais
$x_1(n) = \lbrace 3,-2,2\rbrace$ ... (eq. 1)
$x_2(n) = \lbrace 2,0\leq 4\quad and\quad 0\quad elsewhere\rbrace$ ... (eq. 2)
A transformação Z da primeira equação pode ser escrita como;
$\sum_{n = -\infty}^\infty x_1(n)Z^{-n}$
$= 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$
A transformação Z do segundo sinal pode ser escrita como;
$\sum_{n = -\infty}^\infty x_2(n)Z^{-n}$
$= 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$
Assim, a convolução dos dois sinais acima é dada por -
$X(Z) = [x_1(Z)^*x_2(Z)]$
$= [3-2Z^{-1}+2Z^{-2}]\times [2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}]$
$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+...\quad...\quad...$
Tomando a transformação Z inversa, obtemos,
$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4\rbrace$
Teorema do valor inicial
Se x (n) é uma sequência causal, que tem sua transformação Z como X (z), então o teorema do valor inicial pode ser escrito como;
$X(n)(at\quad n = 0) = \lim_{z \to \infty} X(z)$
Proof - Nós sabemos disso,
$X(Z) = \sum_{n = 0} ^\infty x(n)Z^{-n}$
Expandindo a série acima, temos;
$= X(0)Z^0+X(1)Z^{-1}+X(2)Z^{-2}+...\quad...$
$= X(0)\times 1+X(1)Z^{-1}+X(2)Z^{-2}+...\quad...$
No caso acima, se Z → ∞ então $Z^{-n}\rightarrow 0$ (Porque n> 0)
Portanto, podemos dizer;
$\lim_{z \to \infty}X(z) = X(0)$ (Provado portanto)
Teorema do valor final
O Teorema do Valor Final afirma que se a transformada Z de um sinal é representada como X (Z) e os pólos estão todos dentro do círculo, então seu valor final é denotado como x (n) ou X (∞) e pode ser escrito como -
$X(\infty) = \lim_{n \to \infty}X(n) = \lim_{z \to 1}[X(Z)(1-Z^{-1})]$
Conditions -
- É aplicável apenas para sistemas causais.
- $X(Z)(1-Z^{-1})$ deve ter pólos dentro do círculo unitário no plano Z.
Proof - Nós sabemos disso
$Z^+[x(n+1)-x(n)] = \lim_{k \to \infty}\sum_{n=0}^kZ^{-n}[x(n+1)-x(n)]$
$\Rightarrow Z^+[x(n+1)]-Z^+[x(n)] = \lim_{k \to \infty}\sum_{n=0}^kZ^{-n}[x(n+1)-x(n)]$
$\Rightarrow Z[X(Z)^+-x(0)]-X(Z)^+ = \lim_{k \to \infty}\sum_{n = 0}^kZ^{-n}[x(n+1)-x(n)]$
Aqui, podemos aplicar a propriedade avançada da Transformação Z unilateral. Portanto, a equação acima pode ser reescrita como;
$Z^+[x(n+1)] = Z[X(2)^+-x(0)Z^0] = Z[X(Z)^+-x(0)]$
Agora, colocando z = 1 na equação acima, podemos expandir a equação acima -
$\lim_{k \to \infty}{[x(1)-x(0)+x(6)-x(1)+x(3)-x(2)+...\quad...\quad...+x(x+1)-x(k)]}$
Isso pode ser formulado como;
$X(\infty) = \lim_{n \to \infty}X(n) = \lim_{z \to 1}[X(Z)(1-Z^{-1})]$(Provado portanto)
Exemplo
Vamos encontrar o valor inicial e final de x (n) cujo sinal é dado por
$X(Z) = 2+3Z^{-1}+4Z^{-2}$
Solution - Vamos primeiro encontrar o valor inicial do sinal aplicando o teorema
$x(0) = \lim_{z \to \infty}X(Z)$
$= \lim_{z \to \infty}[2+3Z^{-1}+4Z^{-2}]$
$= 2+(\frac{3}{\infty})+(\frac{4}{\infty}) = 2$
Agora vamos encontrar o valor final do sinal aplicando o teorema
$x(\infty) = \lim_{z \to \infty}[(1-Z^{-1})X(Z)]$
$= \lim_{z \to \infty}[(1-Z^{-1})(2+3Z^{-1}+4Z^{-2})]$
$= \lim_{z \to \infty}[2+Z^{-1}+Z^{-2}-4Z^{-3}]$
$= 2+1+1-4 = 0$
Some other properties of Z-transform are listed below -
Diferenciação em frequência
Ele fornece a mudança no domínio Z do sinal, quando seu sinal discreto é diferenciado em relação ao tempo.
$nx(n)\longleftrightarrow -Z\frac{dX(z)}{dz}$
Seu ROC pode ser escrito como;
$r_2< Mod(Z)< r_1$
Exemplo
Vamos encontrar o valor de x (n) por meio da Diferenciação em frequência, cujo sinal discreto no domínio Z é dado por $x(n)\longleftrightarrow X(Z) = log(1+aZ^{-1})$
Por propriedade, podemos escrever que
$nx(n)\longleftrightarrow -Z\frac{dx(Z)}{dz}$
$= -Z[\frac{-aZ^{-2}}{1+aZ^{-1}}]$
$= (aZ^{-1})/(1+aZ^{-1})$
$= 1-1/(1+aZ^{-1})$
$nx(n) = \delta(n)-(-a)^nu(n)$
$\Rightarrow x(n) = 1/n[\delta(n)-(-a)^nu(n)]$
Multiplicação no tempo
Ele fornece a mudança no domínio Z do sinal quando a multiplicação ocorre no nível de sinal discreto.
$x_1(n).x_2(n)\longleftrightarrow(\frac{1}{2\Pi j})[X1(Z)*X2(Z)]$
Conjugação no tempo
Isso representa a representação do sinal discreto conjugado no domínio Z.
$X^*(n)\longleftrightarrow X^*(Z^*)$
Um sistema, que tem função de sistema, só pode ser estável se todos os pólos estiverem dentro do círculo unitário. Primeiro, verificamos se o sistema é causal ou não. Se o sistema for Causal, então vamos para sua determinação de estabilidade BIBO; onde a estabilidade BIBO se refere à entrada limitada para a condição de saída limitada.
Isso pode ser escrito como;
$Mod(X(Z))< \infty$
$= Mod(\sum x(n)Z^{-n})< \infty$
$= \sum Mod(x(n)Z^{-n})< \infty$
$= \sum Mod[x(n)(re^{jw})^{-n}]< 0$
$= \sum Mod[x(n)r^{-n}]Mod[e^{-jwn}]< \infty$
$= \sum_{n = -\infty}^\infty Mod[x(n)r^{-n}]< \infty$
A equação acima mostra a condição de existência da transformada Z.
No entanto, a condição para existência de sinal DTFT é
$$\sum_{n = -\infty}^\infty Mod(x(n)< \infty$$Exemplo 1
Vamos tentar descobrir a transformada Z do sinal, que é dada como
$x(n) = -(-0.5)^{-n}u(-n)+3^nu(n)$
$= -(-2)^nu(n)+3^nu(n)$
Solution - Aqui, por $-(-2)^nu(n)$ o ROC é do lado esquerdo e Z <2
Para $3^nu(n)$ ROC é do lado direito e Z> 3
Portanto, aqui a transformada Z do sinal não existirá porque não existe uma região comum.
Exemplo 2
Vamos tentar descobrir a transformada Z do sinal dado por
$x(n) = -2^nu(-n-1)+(0.5)^nu(n)$
Solution - Aqui, por $-2^nu(-n-1)$ ROC do sinal é do lado esquerdo e Z <2
Para sinal $(0.5)^nu(n)$ ROC é do lado direito e Z> 0,5
Então, o ROC comum sendo formado como 0,5 <Z <2
Portanto, a transformada Z pode ser escrita como;
$X(Z) = \lbrace\frac{1}{1-2Z^{-1}}\rbrace+\lbrace\frac{1}{(1-0.5Z)^{-1}}\rbrace$
Exemplo 3
Vamos tentar descobrir a transformada Z do sinal, que é dada como $x(n) = 2^{r(n)}$
Solution- r (n) é o sinal de rampa. Portanto, o sinal pode ser escrito como;
$x(n) = 2^{nu(n)}\lbrace 1, n<0 (u(n)=0)\quad and\quad2^n, n\geq 0(u(n) = 1)\rbrace$
$= u(-n-1)+2^nu(n)$
Aqui, pelo sinal $u(-n-1)$ e ROC Z <1 e para $2^nu(n)$ com ROC é Z> 2.
Portanto, a transformação Z do sinal não existirá.
Z-Transformado para Sistema Causal
O sistema causal pode ser definido como $h(n) = 0,n<0$. Para o sistema causal, ROC estará fora do círculo no plano Z.
$H(Z) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty}h(n)Z^{-n}$
Expandindo a equação acima,
$H(Z) = h(0)+h(1)Z^{-1}+h(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$
$= N(Z)/D(Z)$
Para sistemas causais, a expansão da Função de Transferência não inclui potências positivas de Z. Para sistemas causais, a ordem do numerador não pode exceder a ordem do denominador. Isso pode ser escrito como-
$\lim_{z \rightarrow \infty}H(Z) = h(0) = 0\quad or\quad Finite$
Para estabilidade do sistema causal, os pólos da função de transferência devem estar dentro do círculo unitário no plano Z.
Transformada Z para sistema anti-causal
Sistema anti-causal pode ser definido como $h(n) = 0, n\geq 0$. Para o sistema anti-causal, os pólos da função de transferência devem estar fora do círculo unitário no plano Z. Para o sistema anti-causal, ROC estará dentro do círculo no plano Z.
Se quisermos analisar um sistema, que já está representado no domínio da frequência, como um sinal de tempo discreto, então vamos para a transformação Z inversa.
Matematicamente, pode ser representado como;
$$x(n) = Z^{-1}X(Z)$$onde x (n) é o sinal no domínio do tempo e X (Z) é o sinal no domínio da frequência.
Se quisermos representar a equação acima em formato integral, podemos escrevê-la como
$$x(n) = (\frac{1}{2\Pi j})\oint X(Z)Z^{-1}dz$$Aqui, a integral está sobre um caminho fechado C. Este caminho está dentro do ROC de x (z) e contém a origem.
Métodos para encontrar a transformada Z inversa
Quando a análise é necessária no formato discreto, convertemos o sinal do domínio da frequência de volta ao formato discreto por meio da transformação Z inversa. Seguimos as quatro maneiras a seguir para determinar a transformação Z inversa.
- Método de Divisão Longa
- Método de expansão de fração parcial
- Método integral de resíduo ou contorno
Método de Divisão Longa
Neste método, a transformada Z do sinal x (z) pode ser representada como a razão do polinômio como mostrado abaixo;
$$x(z)=N(Z)/D(Z)$$Agora, se continuarmos a dividir o numerador pelo denominador, teremos uma série como mostrado abaixo
$$X(z) = x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$$A sequência acima representa a série de transformada Z inversa do sinal dado (para n≥0) e o sistema acima é causal.
No entanto, para n <0, a série pode ser escrita como;
$$x(z) = x(-1)Z^1+x(-2)Z^2+x(-3)Z^3+...\quad...\quad...$$Método de expansão de fração parcial
Aqui também o sinal é expresso primeiro na forma N (z) / D (z).
Se for uma fração racional, será representada da seguinte forma;
$x(z) = b_0+b_1Z^{-1}+b_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+b_mZ^{-m})/(a_0+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+a_nZ^{-N})$
O acima é impróprio quando m <n e um ≠ 0
Se a proporção não for adequada (ou seja, inadequada), temos que convertê-la para a forma adequada para resolvê-la.
Método de resíduo ou contorno integral
Neste método, obtemos a transformada de Z inversa x (n) pela soma dos resíduos de $[x(z)Z^{n-1}]$em todos os pólos. Matematicamente, isso pode ser expresso como
$$x(n) = \displaystyle\sum\limits_{all\quad poles\quad X(z)}residues\quad of[x(z)Z^{n-1}]$$Aqui, o resíduo para qualquer pólo de ordem m em $z = \beta$ é
$$Residues = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{Z \rightarrow \beta}\lbrace \frac{d^{m-1}}{dZ^{m-1}}\lbrace (z-\beta)^mX(z)Z^{n-1}\rbrace$$Exemplo 1
Encontre a resposta do sistema $s(n+2)-3s(n+1)+2s(n) = \delta (n)$, quando todas as condições iniciais são zero.
Solution - Tomando a transformada Z em ambos os lados da equação acima, obtemos
$$S(z)Z^2-3S(z)Z^1+2S(z) = 1$$$\Rightarrow S(z)\lbrace Z^2-3Z+2\rbrace = 1$
$\Rightarrow S(z) = \frac{1}{\lbrace z^2-3z+2\rbrace}=\frac{1}{(z-2)(z-1)} = \frac{\alpha _1}{z-2}+\frac{\alpha _2}{z-1}$
$\Rightarrow S(z) = \frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$
Tomando a transformada Z inversa da equação acima, obtemos
$S(n) = Z^{-1}[\frac{1}{Z-2}]-Z^{-1}[\frac{1}{Z-1}]$
$= 2^{n-1}-1^{n-1} = -1+2^{n-1}$
Exemplo 2
Encontre a função do sistema H (z) e a resposta da amostra unitária h (n) do sistema cuja equação de diferença é descrita como em
$y(n) = \frac{1}{2}y(n-1)+2x(n)$
onde, y (n) e x (n) são a saída e a entrada do sistema, respectivamente.
Solution - Tomando a transformada Z da equação de diferença acima, obtemos
$y(z) = \frac{1}{2}Z^{-1}Y(Z)+2X(z)$
$= Y(Z)[1-\frac{1}{2}Z^{-1}] = 2X(Z)$
$= H(Z) = \frac{Y(Z)}{X(Z)} = \frac{2}{[1-\frac{1}{2}Z^{-1}]}$
Este sistema tem um pólo em $Z = \frac{1}{2}$ e $Z = 0$ e $H(Z) = \frac{2}{[1-\frac{1}{2}Z^{-1}]}$
Portanto, tomando a transformada Z inversa acima, obtemos
$h(n) = 2(\frac{1}{2})^nU(n)$
Exemplo 3
Determine Y (z), n≥0 no seguinte caso -
$y(n)+\frac{1}{2}y(n-1)-\frac{1}{4}y(n-2) = 0\quad given\quad y(-1) = y(-2) = 1$
Solution - Aplicando a transformada Z à equação acima, obtemos
$Y(Z)+\frac{1}{2}[Z^{-1}Y(Z)+Y(-1)]-\frac{1}{4}[Z^{-2}Y(Z)+Z^{-1}Y(-1)+4(-2)] = 0$
$\Rightarrow Y(Z)+\frac{1}{2Z}Y(Z)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4Z^2}Y(Z)-\frac{1}{4Z}-\frac{1}{4} = 0$
$\Rightarrow Y(Z)[1+\frac{1}{2Z}-\frac{1}{4Z^2}] =\frac{1}{4Z}-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow Y(Z)[\frac{4Z^2+2Z-1}{4Z^2}] = \frac{1-2Z}{4Z}$
$\Rightarrow Y(Z) = \frac{Z(1-2Z)}{4Z^2+2Z-1}$
Como a transformada de Fourier de sinal de tempo contínuo, a transformada de Fourier de tempo discreto pode ser usada para representar uma sequência discreta em sua representação de domínio de frequência equivalente e sistema de tempo discreto LTI e desenvolver vários algoritmos computacionais.
X (jω) em FT contínuo, é uma função contínua de x (n). No entanto, DFT trata da representação de x (n) com amostras de seu espectro X (ω). Conseqüentemente, esta ferramenta matemática tem muita importância computacionalmente em uma representação conveniente. Tanto sequências periódicas quanto não periódicas podem ser processadas por meio dessa ferramenta. As sequências periódicas precisam ser amostradas estendendo o período ao infinito.
Amostragem de Domínio de Freqüência
Desde a introdução, é claro que precisamos saber como proceder através da amostragem no domínio da frequência, ou seja, amostragem X (ω). Portanto, a relação entre a transformada de Fourier amostrada e a DFT é estabelecida da seguinte maneira.
Da mesma forma, as sequências periódicas podem se ajustar a essa ferramenta, estendendo o período N ao infinito.
Seja uma sequência não periódica, $X(n) = \lim_{N \to \infty}x_N(n)$
Definindo sua transformada de Fourier,
$X(\omega ) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}X(K\delta \omega)$
Aqui, X (ω) é amostrado periodicamente, a cada intervalo δω radianos.
Como X (ω) é periódico em 2π radianos, exigimos amostras apenas na faixa fundamental. As amostras são coletadas após intervalos equidistantes na faixa de frequência 0≤ω≤2π. O espaçamento entre intervalos equivalentes é$\delta \omega = \frac{2\pi }{N}k$ radiano.
Agora avaliando, $\omega = \frac{2\pi}{N}k$
$X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j2\pi nk/N},$ ... eq (2)
onde k = 0,1, …… N-1
Depois de subdividir o acima, e trocar a ordem da soma
$X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}[\displaystyle\sum\limits_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)]e^{-j2\pi nk/N}$ ... eq (3)
$\sum_{l=-\infty}^\infty x(n-Nl) = x_p(n) = a\quad periodic\quad function\quad of\quad period\quad N\quad and\quad its\quad fourier\quad series\quad = \sum_{k = 0}^{N-1}C_ke^{j2\pi nk/N}$
onde, n = 0,1,… .., N-1; 'p'- significa entidade ou função periódica
Os coeficientes de Fourier são,
$C_k = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$k = 0,1, ..., N-1 ... eq (4)
Comparando as equações 3 e 4, obtemos;
$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k)$k = 0,1, ..., N-1 ... eq (5)
$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{jw}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$... eq (6)
Da expansão da série Fourier,
$x_p(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(\frac{2\pi}{N}k)e^{j2\pi nk/N}$... eq (7)
Onde n = 0,1, ..., N-1
Aqui, temos o sinal periódico de X (ω). $x(n)$ pode ser extraído de $x_p(n)$ apenas, se não houver apelido no domínio do tempo. $N\geq L$
N = período de $x_p(n)$ L = período de $x(n)$
$x(n) = \begin{cases}x_p(n), & 0\leq n\leq N-1\\0, & Otherwise\end{cases}$
O mapeamento é feito dessa maneira.
Propriedades de DFT
Linearidade
Ele afirma que a DFT de uma combinação de sinais é igual à soma da DFT de sinais individuais. Tomemos dois sinais x 1 (n) ex 2 (n), cujas DFT s são X 1 (ω) e X 2 (ω) respectivamente. Então se
$x_1(n)\rightarrow X_1(\omega)$e$x_2(n)\rightarrow X_2(\omega)$
Então $ax_1(n)+bx_2(n)\rightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$
Onde a e b são constantes.
Simetria
As propriedades de simetria do DFT podem ser derivadas de maneira semelhante às propriedades de simetria do DTFT. Sabemos que DFT da sequência x (n) é denotado por X (K). Agora, se x (n) e X (K) são sequências de valor complexo, então ele pode ser representado como sob
$x(n) = x_R(n)+jx_1(n),0\leq n\leq N-1$
E $X(K) = X_R(K)+jX_1(K),0\leq K\leq N-1$
Propriedade de Dualidade
Vamos considerar um sinal x (n), cujo DFT é dado como X (K). Seja a sequência de duração finita X (N). Então, de acordo com o teorema da dualidade,
E se, $x(n)\longleftrightarrow X(K)$
Então, $X(N)\longleftrightarrow Nx[((-k))_N]$
Portanto, ao usar este teorema, se conhecermos DFT, podemos facilmente encontrar a sequência de duração finita.
Propriedades do Conjugado Complexo
Suponha que haja um sinal x (n), cujo DFT também é conhecido por nós como X (K). Agora, se o conjugado complexo do sinal é dado como x * (n), então podemos facilmente encontrar o DFT sem fazer muitos cálculos usando o teorema mostrado abaixo.
E se, $x(n)\longleftrightarrow X(K)$
Então, $x*(n)\longleftrightarrow X*((K))_N = X*(N-K)$
Mudança de frequência circular
A multiplicação da sequência x (n) com a sequência exponencial complexa $e^{j2\Pi kn/N}$é equivalente ao deslocamento circular da DFT por L unidades de frequência. Esta é a propriedade de deslocamento temporal dual para circular.
E se, $x(n)\longleftrightarrow X(K)$
Então, $x(n)e^{j2\Pi Kn/N}\longleftrightarrow X((K-L))_N$
Multiplicação de duas sequências
Se houver dois sinais x 1 (n) e x 2 (n) e seus respectivos DFTs são X 1 (k) e X 2 (K), então a multiplicação dos sinais na sequência de tempo corresponde à convolução circular de seus DFTs.
E se, $x_1(n)\longleftrightarrow X_1(K)\quad\&\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(K)$
Então, $x_1(n)\times x_2(n)\longleftrightarrow X_1(K)© X_2(K)$
Teorema de Parseval
Para sequências de valores complexos x (n) e y (n), em geral
E se, $x(n)\longleftrightarrow X(K)\quad \&\quad y(n)\longleftrightarrow Y(K)$
Então, $\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(K)Y^*(K)$
Nós sabemos disso quando $\omega = 2\pi K/N$ e $N\rightarrow \infty,\omega$ torna-se uma variável contínua e a soma dos limites torna-se $-\infty$ para $+\infty$.
Portanto,
$$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{\frac{-j2\pi nk}{N}} = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT)
Nós sabemos isso, $X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$
Onde, $X(e^{j\omega})$é contínua e periódica em ω e com período 2π. … Eq (1)
Agora,
$x_p(n) = \sum_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2 \pi nk/N}$ … Da série Fourier
$x_p(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N}\times \frac{2\pi}{N}$
ω torna-se contínuo e $\frac{2\pi}{N}\rightarrow d\omega$, pelos motivos acima citados.
$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{n = 0}^{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$… Eq (2)
Transformada de Fourier de tempo discreto inverso
Simbolicamente,
$x(n)\Longleftrightarrow x(e^{j\omega})$(O par da Transformada de Fourier)
A condição necessária e suficiente para a existência da Transformada de Fourier de Tempo Discreto para uma sequência não periódica x (n) é somativa absoluta.
ie$\sum_{n = -\infty}^\infty|x(n)|<\infty$
Propriedades de DTFT
Linearity : $a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\Leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega})+a_2X_2(e^{j\omega})$
Time shifting - $x(n-k)\Leftrightarrow e^{-j\omega k}.X(e^{j\omega})$
Time Reversal - $x(-n)\Leftrightarrow X(e^{-j\omega})$
Frequency shifting - $e^{j\omega _0n}x(n)\Leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega _0)})$
Differentiation frequency domain - $nx(n) = j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$
Convolution - $x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$
Multiplication - $x_1(n)\times x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$
Co-relation - $y_{x_1\times x_2}(l)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})\times X_2(e^{j\omega})$
Modulation theorem - $x(n)\cos \omega _0n = \frac{1}{2}[X_1(e^{j(\omega +\omega _0})*X_2(e^{jw})$
Symmetry -$x^*(n)\Leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ ;
$x^*(-n)\Leftrightarrow X^*(e^{j\omega})$ ;
$Real[x(n)]\Leftrightarrow X_{even}(e^{j\omega})$ ;
$Imag[x(n)]\Leftrightarrow X_{odd}(e^{j\omega})$ ;
$x_{even}(n)\Leftrightarrow Real[x(e^{j\omega})]$ ;
$x_{odd}(n)\Leftrightarrow Imag[x(e^{j\omega})]$ ;
Parseval’s theorem - $\sum_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^{j\omega})|^2d\omega$
Anteriormente, estudamos a amostragem no domínio da frequência. Com esse conhecimento básico, nós provamos$X(e^{j\omega})$no domínio da frequência, de modo que uma análise digital conveniente possa ser feita a partir dos dados amostrados. Portanto, DFT é amostrado tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência. Com a suposição$x(n) = x_p(n)$
Portanto, DFT é dado por -
$X(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)
E o IDFT é dado por -
$X(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi nk}{N}}$, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)
$\therefore x(n)\Leftrightarrow X(k)$
Twiddle Factor
É denotado como $W_N$ e definido como $W_N = e^{-j2\pi /N}$. Sua magnitude é sempre mantida na unidade. Fase de$W_N = -2\pi /N$. É um vetor em círculo unitário e é usado por conveniência computacional. Matematicamente, pode ser mostrado como -
$W_N^r = W_N^{r\pm N} = W_N^{r\pm 2N} = ...$
É função de re período N.
Considere N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….
$\Longleftrightarrow W_8^0 = W_8^8 = W_8^{16} = ... = ... = W_8^{32} = ... =1= 1\angle 0$
$W_8^1 = W_8^9 = W_8^{17} = ... = ... = W_8^{33} = ... =\frac{1}{\sqrt 2}= j\frac{1}{\sqrt 2} = 1\angle-\frac{\pi}{4}$
Transformação Linear
Deixe-nos entender a transformação linear -
Nós sabemos isso,
$DFT(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n).W_n^{-nk};\quad k = 0,1,….,N−1$
$x(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k).W_N^{-nk};\quad n = 0,1,….,N−1$
Note- O cálculo de DFT pode ser realizado com multiplicação de complexo N 2 e adição de complexo N (N-1).
$x_N = \begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\.\\.\\x(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad point\quad vector\quad of\quad signal\quad x_N$
$X_N = \begin{bmatrix}X(0)\\X(1)\\.\\.\\X(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad point\quad vector\quad of\quad signal\quad X_N$
$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & ... & ... & 1\\1 & W_N & W_N^2 & ... & ... & W_N^{N-1}\\. & W_N^2 & W_N^4 & ... & ... & W_N^{2(N-1)}\\.\\1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & ... & ... & W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix}$
N - ponto DFT no termo da matriz é dado por - $X_N = W_Nx_N$
$W_N\longmapsto$ Matriz de transformação linear
$Now,\quad x_N = W_N^{-1}X_N$
IDFT em formato de matriz é fornecido por
$$x_N = \frac{1}{N}W_N^*X_N$$Comparando ambas as expressões de $x_N,\quad W_N^{-1} = \frac{1}{N}W_N^*$ e $W_N\times W_N^* = N[I]_{N\times N}$
Portanto, $W_N$ é uma matriz de transformação linear, uma matriz ortogonal (unitária).
De propriedade periódica de $W_N$ e de sua propriedade simétrica, pode-se concluir que, $W_N^{k+N/2} = -W_N^k$
Simetria Circular
DFT de N-ponto de uma duração finita x (n) de comprimento N≤L, é equivalente ao DFT de N-ponto de extensão periódica de x (n), ie $x_p(n)$ do período N. e $x_p(n) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)$. Agora, se mudarmos a sequência, que é uma sequência periódica por k unidades para a direita, outra sequência periódica é obtida. Isso é conhecido como deslocamento circular e é dado por,
$$x_p^\prime (n) = x_p(n-k) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-k-Nl)$$A nova sequência finita pode ser representada como
$$x_p^\prime (n) = \begin{cases}x_p^\prime(n), & 0\leq n\leq N-1\\0 & Otherwise\end{cases}$$Example - Seja x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,
$x_p^\prime (n) = x(n-k,modulo\quad N)\equiv x((n-k))_N\quad;ex-if\quad k=2i.e\quad 2\quad unit\quad right\quad shift\quad and\quad N = 4,$
Sentido sentido horário como direção positiva.
Obtemos, $x\prime(n) = x((n-2))_4$
$x\prime(0) = x((-2))_4 = x(2) = 4$
$x\prime(1) = x((-1))_4 = x(3) = 3$
$x\prime(2) = x((-2))_4 = x(0) = 1$
$x\prime(3) = x((1))_4 = x(1) = 2$
Conclusion - O deslocamento circular da sequência de N pontos é equivalente a um deslocamento linear de sua extensão periódica e vice-versa.
Sequência circularmente uniforme - $x(N-n) = x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$i.e.x_p(n) = x_p(-n) = x_p(N-n)$
Conjugado mesmo -$x_p(n) = x_p^*(N-n)$
Sequência circularmente estranha - $x(N-n) = -x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$i.e.x_p(n) = -x_p(-n) = -x_p(N-n)$
Conjugado ímpar - $x_p(n) = -x_p^*(N-n)$
Agora, $x_p(n) = x_{pe}+x_{po}(n)$, Onde,
$x_{pe}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)+x_p^*(N-n)]$
$x_{po}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)-x_p^*(N-n)]$
Para qualquer sinal real x (n),$X(k) = X^*(N-k)$
$X_R(k) = X_R(N-k)$
$X_l(k) = -X_l(N-k)$
$\angle X(k) = -\angle X(N-K)$
Time reversal- amostra reversa sobre a 0ª amostra. Isso é dado como;
$x((-n))_N = x(N-n),\quad 0\leq n\leq N-1$
A inversão de tempo é a plotagem de amostras de sequência, no sentido horário, ou seja, direção negativa assumida.
Algumas outras propriedades importantes
Outras propriedades IDFT importantes $x(n)\longleftrightarrow X(k)$
Time reversal - $x((-n))_N = x(N-n)\longleftrightarrow X((-k))_N = X(N-k)$
Circular time shift - $x((n-l))_N \longleftrightarrow X(k)e^{j2\pi lk/N}$
Circular frequency shift - $x(n)e^{j2\pi ln/N} \longleftrightarrow X((k-l))_N$
Complex conjugate properties -
$x^*(n)\longleftrightarrow X^*((-k))_N = X^*(N-k)\quad and$
$x^*((-n))_N = x^*(N-n)\longleftrightarrow X^*(-k)$
Multiplication of two sequence -
$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad and\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(k)$
$\therefore x_1(n)x_2(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quadⓃ X_2(k)$
Circular convolution - e multiplicação de dois DFT
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k) =\sum_{k = 0}^{N-1}x_1(n).x_2((m-n))_n,\quad m = 0,1,2,... .,N-1 $
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k)\longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$
Circular correlation - se $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ e $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$ , então existe uma sequência de correlação cruzada denotada como $\bar Y_{xy}$ de tal modo que $\bar Y_{xy}(l) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*((n-l))_N = X(k).Y^*(k)$
Parseval’s Theorem - se $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ e $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$;
$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n =0}^{N-1}X(k).Y^*(k)$
Vamos tomar duas sequências de duração finita x 1 (n) e x 2 (n), tendo comprimento inteiro como N. Suas DFTs são X 1 (K) e X 2 (K), respectivamente, que é mostrado abaixo -
$$X_1(K) = \sum_{n = 0}^{N-1}x_1(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}\quad k = 0,1,2...N-1$$ $$X_2(K) = \sum_{n = 0}^{N-1}x_2(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}\quad k = 0,1,2...N-1$$Agora, vamos tentar encontrar a DFT de outra sequência x 3 (n), que é dada como X 3 (K)
$X_3(K) = X_1(K)\times X_2(K)$
Ao obter o IDFT do acima, obtemos
$x_3(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}X_3(K)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$
Depois de resolver a equação acima, finalmente, temos
$x_3(n) = \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{N-1}x_1(m)x_2[((n-m))_N]\quad m = 0,1,2...N-1$
Pontos de comparação | Convolução Linear | Convolução Circular |
---|---|---|
Mudança | Deslocamento linear | Deslocamento circular |
Amostras no resultado da convolução | $N_1+N_2−1$ | $Max(N_1,N_2)$ |
Encontrando a resposta de um filtro | Possível | Possível com preenchimento zero |
Métodos de convolução circular
Geralmente, existem dois métodos, que são adotados para realizar a convolução circular e são -
- Método de círculo concêntrico,
- Método de multiplicação de matrizes.
Método do Círculo Concêntrico
Deixei $x_1(n)$ e $x_2(n)$ser duas sequências dadas. As etapas seguidas para a convolução circular de$x_1(n)$ e $x_2(n)$ está
Faça dois círculos concêntricos. Plote N amostras de$x_1(n)$ na circunferência do círculo externo (mantendo pontos sucessivos de distância igual) no sentido anti-horário.
Para plotagem $x_2(n)$, plotar N amostras de $x_2(n)$no sentido horário no círculo interno, amostra inicial colocada no mesmo ponto que 0ª amostra de$x_1(n)$
Multiplique as amostras correspondentes nos dois círculos e adicione-as para obter a saída.
Gire o círculo interno no sentido anti-horário com uma amostra de cada vez.
Método de multiplicação de matriz
O método da matriz representa as duas sequências fornecidas $x_1(n)$ e $x_2(n)$ em forma de matriz.
Uma das sequências dadas é repetida por meio de deslocamento circular de uma amostra de cada vez para formar uma matriz NXN.
A outra sequência é representada como matriz de coluna.
A multiplicação de duas matrizes dá o resultado da convolução circular.
O DFT fornece uma abordagem alternativa para a convolução no domínio do tempo. Pode ser usado para realizar filtragem linear no domínio da frequência.
Portanto,$Y(\omega) = X(\omega).H(\omega)\longleftrightarrow y(n)$.
O problema nesta abordagem no domínio da frequência é que $Y(\omega)$, $X(\omega)$ e $H(\omega)$são funções contínuas de ω, o que não é fecundo para computação digital em computadores. No entanto, o DFT fornece uma versão amostrada dessas formas de onda para resolver o propósito.
A vantagem é que, tendo conhecimento de técnicas de DFT mais rápidas como FFT, um algoritmo computacionalmente mais eficiente pode ser desenvolvido para computação digital em comparação com a abordagem no domínio do tempo.
Considere uma sequência de duração finita, $[x(n) = 0,\quad for,n<0\quad and\quad n\geq L]$ (equação generalizada), excita um filtro linear com resposta ao impulso $[h(n) = 0,\quad forn<0\quad and\quad n\geq M]$.
$$x(n)y(n)$$ $$output = y(n) = \sum_{k = 0}^{M-1}h(k).x(n-k)$$Da análise de convolução, fica claro que, a duração de y (n) é L + M − 1.
No domínio da frequência,
$$Y(\omega) = X(\omega).H(\omega)$$Agora, $Y(\omega)$ é uma função contínua de ω e é amostrada em um conjunto de frequências discretas com número de amostras distintas que devem ser iguais ou superiores $L+M-1$.
$$DFT\quad size = N\geq L+M-1$$Com $\omega = \frac{2\pi}{N}k$,
$Y(\omega) = X(k).H(k)$, onde k = 0,1,…., N-1
Onde, X (k) e H (k) são DFTs de N pontos de x (n) eh (n), respectivamente. $x(n)\& h(n)$ são preenchidos com zeros até o comprimento N. Não distorce o espectro contínuo $X(\omega)$ e $H(\omega)$. Desde a$N\geq L+M-1$, DFT de N pontos da sequência de saída y (n) é suficiente para representar y (n) no domínio da frequência e esses fatos inferem que a multiplicação de DFTs de N pontos de X (k) e H (k), seguido pelo cálculo de IDFT de N pontos deve produzir y (n).
Isso implica, convolução circular de N pontos de x (n) e H (n) com preenchimento de zero, igual à convolução linear de x (n) eh (n).
Assim, o DFT pode ser usado para filtragem linear.
Caution - N deve ser sempre maior ou igual a $L+M-1$. Caso contrário, o efeito de aliasing corromperia a sequência de saída.
Suponha que a sequência de entrada x (n) de longa duração deva ser processada com um sistema tendo resposta ao impulso de duração finita convolvendo as duas sequências. Visto que a filtragem linear realizada via DFT envolve a operação em um bloco de dados de tamanho fixo, a sequência de entrada é dividida em blocos de dados de tamanho fixo diferentes antes do processamento.
Os blocos sucessivos são então processados um de cada vez e os resultados são combinados para produzir o resultado líquido.
Como a convolução é realizada pela divisão da longa sequência de entrada em diferentes seções de tamanho fixo, ela é chamada de convolução seccionada. Uma longa sequência de entrada é segmentada em blocos de tamanho fixo, antes do processamento do filtro FIR.
Dois métodos são usados para avaliar a convolução discreta -
Overlap-save method
Overlap-add method
Método de salvamento de sobreposição
Sobreposição-salvar é o nome tradicional para uma maneira eficiente de avaliar a convolução discreta entre um sinal muito longo x (n) e um filtro de resposta a impulso finito (FIR) h (n). A seguir estão as etapas do método de salvamento de sobreposição -
Deixe o comprimento do bloco de dados de entrada = N = L + M-1. Portanto, comprimento de DFT e IDFT = N. Cada bloco de dados carrega pontos de dados M-1 do bloco anterior seguidos por L novos pontos de dados para formar uma sequência de dados de comprimento N = L + M-1.
Primeiro, a DFT de N pontos é calculada para cada bloco de dados.
Anexando (L-1) zeros, a resposta ao impulso do filtro FIR é aumentada em comprimento e N ponto DFT é calculado e armazenado.
Multiplicação de dois pontos N-DFTs H (k) e X m (k): Y ′ m (k) = H (k) .X m (k), onde K = 0,1,2,… N-1
Então, IDFT [Y ′ m ((k)] = y ′ ((n) = [y ′ m (0), y ′ m (1), y ′ m (2), ....... y ' m (m-1), y' m (m), ....... y ' m (N-1)]
(aqui, N-1 = L + M-2)
Os primeiros M-1 pontos estão corrompidos devido ao aliasing e, portanto, são descartados porque o registro de dados tem comprimento N.
Os últimos L pontos são exatamente iguais como resultado da convolução, então
y ′ m (n) = y m (n) onde n = M, M + 1,… .N-1
Para aliasing evitar, o último M-1 elementos de cada registro de dados são guardados e estes pontos transferir para o registro posterior e tornar-se 1 st elementos M-1.
Resultado de IDFT, onde os primeiros M-1 pontos são evitados, para anular o aliasing e os pontos L restantes constituem o resultado desejado como o de uma convolução linear.
Método de adição de sobreposição
A seguir estão as etapas para descobrir a convolução discreta usando o método de sobreposição -
Deixe o tamanho do bloco de dados de entrada ser L. Portanto, o tamanho de DFT e IDFT: N = L + M-1
Cada bloco de dados é anexado com M-1 zeros ao último.
Calcule DFT de N pontos.
Duas DFTs de N pontos são multiplicadas: Y m (k) = H (k) .X m (k), onde k = 0 ,, 1,2,…., N-1
IDFT [Y m (k)] produz blocos de comprimento N que não são afetados pelo aliasing, já que o tamanho de DFT é N = L + M-1 e aumenta o comprimento das sequências para N-pontos anexando M-1 zeros a cada quadra.
Os últimos M-1 pontos de cada bloco devem ser sobrepostos e adicionados aos primeiros M-1 pontos do bloco seguinte.
(razão: cada bloco de dados termina com M-1 zeros)
Portanto, este método é conhecido como método Overlap-add. Assim, obtemos -
y (n) = {y 1 (0), y 1 (1), y 1 (2), ... .., y 1 (L-1), y 1 (L) + y 2 (0), y 1 (L + 1) + y 2 (1), ... ... .., y 1 (N-1) + y 2 (M-1), y 2 (M), ... .. . ... ... ...}
DCT (Discrete Cosine Transform) é uma sequência de entrada N x (n), 0≤n≤N-1, como uma transformação linear ou combinação de exponenciais complexas. Como resultado, os coeficientes DFT são em geral complexos, mesmo se x (n) for real.
Suponha que tentemos descobrir uma transformação ortogonal que tem a estrutura N × N que expressa uma sequência real x (n) como uma combinação linear da sequência do cosseno. Já sabemos disso -
$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$
E $x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}x(k)cos\frac{2\Pi kn}{N}0\leq k \leq N-1$
Isso é possível se a sequência de N pontos x (n) for real e par. Portanto,$x(n) = x(N-n),0\leq n \leq (N-1)$. O próprio DFT resultante é real e uniforme. Essas coisas deixam claro que poderíamos possivelmente configurar uma transformada discreta de cosseno, para qualquer sequência real de N pontos, tomando o ponto 2N DFT de uma “extensão par” de sequência.
O DCT é, basicamente, usado no processamento de imagem e fala. Também é usado na compressão de imagens e sinais de voz.
$DFT[s(n)] = S(k) = \sum_{n = 0}^{2N-1}s(n)W_{2N}^{nk},\quad where\quad 0\leq k \leq 2N-1$
$S(k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk}+\displaystyle\sum\limits_{n = N}^{2N-1}x(2N-n-1)W_{2N}^{nk};\quad where\quad 0\leq k\leq 2N-1$
$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{-k/2}+\sum_{n = 0}^{N-1}x(n) [W_{2N}^{nk}W_{2N}^{k/2}+W_{2N}^{-nk}W_{2N}^{-k/2}];\quad where\quad 0\leq k\leq 2N-1$
$\Rightarrow S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{N}(n+\frac{1}{2})k];\quad where\quad 0\leq k\leq 2N-1$
DCT é definido por,
$V(k) = 2\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)\cos [\frac{\pi}{2}(n+\frac{1}{2})k]\quad where\quad 0\leq k\leq N-1$
$\Rightarrow V(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}S(k)\quad or\quad S(k) = W_{2N}^{\frac{k}{2}}V(k),\quad where\quad 0\leq k\leq N-1$
$\Rightarrow V(k) = 2R[W_{2N}^{\frac{k}{2}}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)W_{2N}^{nk}],\quad where\quad 0\leq k\leq N-1$
Exemplo 1
Verifique o teorema de Parseval da sequência $x(n) = \frac{1^n}{4}u(n)$
Solution - $\displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^{j\omega})|^2d\omega$
LHS $\displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2$
$= \displaystyle\sum\limits_{-\infty}^{\infty}x(n)x^*(n)$
$= \displaystyle\sum\limits_{-\infty}^\infty(\frac{1}{4})^{2n}u(n) = \frac{1}{1-\frac{1}{16}} = \frac{16}{15}$
RHS $X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-\frac{1}{4}e-j\omega} = \frac{1}{1-0.25\cos \omega+j0.25\sin \omega}$
$\Longleftrightarrow X^*(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-0.25\cos \omega-j0.25\sin \omega}$
Calculando, $X(e^{j\omega}).X^*(e^{j\omega})$
$= \frac{1}{(1-0.25\cos \omega)^2+(0.25\sin \omega)^2} = \frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}$
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}d\omega$
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{1.0625-0.5\cos \omega}d\omega = 16/15$
Podemos ver isso, LHS = RHS. (Provado portanto)
Exemplo 2
Calcule o DFT de N-ponto de $x(n) = 3\delta (n)$
Solution - Nós sabemos disso,
$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$
$= \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}3\delta(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$
$ = 3\delta (0)\times e^0 = 1$
Então,$x(k) = 3,0\leq k\leq N-1$… Resp.
Exemplo 3
Calcule o DFT de N-ponto de $x(n) = 7(n-n_0)$
Solution - Nós sabemos disso,
$X(K) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{\frac{j2\Pi kn}{N}}$
Substituindo o valor de x (n),
$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}7\delta (n-n_0)e^{-\frac{j2\Pi kn}{N}}$
$= e^{-kj14\Pi kn_0/N}$… Resp
Nos métodos DFT anteriores, vimos que a parte computacional é muito longa. Queremos reduzir isso. Isso pode ser feito por meio de FFT ou transformada rápida de Fourier. Portanto, podemos dizer que FFT nada mais é do que cálculo da transformada discreta de Fourier em um formato algorítmico, onde a parte computacional será reduzida.
A principal vantagem de ter FFT é que através dela podemos projetar os filtros FIR. Matematicamente, o FFT pode ser escrito da seguinte maneira;
$$x[K] = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x[n]W_N^{nk}$$Vamos dar um exemplo para entendê-lo melhor. Nós consideramos oito pontos nomeados de$x_0\quad to\quad x_7$. Escolheremos os termos pares em um grupo e os termos ímpares no outro. A visão esquemática do dito acima foi mostrada abaixo -
Aqui, os pontos x 0 , x 2 , x 4 ex 6 foram agrupados em uma categoria e, da mesma forma, os pontos x 1 , x 3 , x 5 ex 7 foram colocados em outra categoria. Agora, podemos torná-los ainda mais em um grupo de dois e prosseguir com o cálculo. Agora, vamos ver como a divisão em mais dois está ajudando na computação.
$x[k] = \displaystyle\sum\limits_{r = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r]W_N^{2rk}+\displaystyle\sum\limits_{r = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r+1]W_N^{(2r+1)k}$
$= \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r]W_{N/2}^{rk}+\sum_{r = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r+1]W_{N/2}^{rk}\times W_N^k$
$= G[k]+H[k]\times W_N^k$
Inicialmente, pegamos uma sequência de oito pontos, mas depois dividimos aquela em duas partes G [k] e H [k]. G [k] representa a parte par, enquanto H [k] representa a parte ímpar. Se quisermos realizá-lo por meio de um diagrama, ele pode ser mostrado como abaixo -
Na figura acima, podemos ver que
$W_8^4 = -1$
$W_8^5 = -W_8^1$
$W_8^6 = -W_8^2$
$W_8^7 = -W_8^3$
Da mesma forma, os valores finais podem ser escritos da seguinte forma -
$G[0]-H[0] = x[4]$
$G[1]-W_8^1H[1] = x[5]$
$G[2]-W_8^2H[2] = x[6]$
$G[1]-W_8^3H[3] = x[7]$
O acima é uma série periódica. A desvantagem deste sistema é que K não pode ser quebrado além de 4 pontos. Agora vamos dividir o acima em mais. Vamos obter as estruturas mais ou menos assim
Exemplo
Considere a sequência x [n] = {2,1, -1, -3,0,1,2,1}. Calcule o FFT.
Solution - A sequência fornecida é x [n] = {2,1, -1, -3,0,1,2,1}
Organize os termos conforme mostrado abaixo;
Este uso eficiente de memória é importante para projetar hardware rápido para calcular o FFT. O termo computação in-loco é usado para descrever esse uso de memória.
Decimação na sequência de tempo
Nesta estrutura, representamos todos os pontos em formato binário, ou seja, em 0 e 1. Em seguida, invertemos essas estruturas. A sequência que obtemos depois disso é conhecida como sequência de reversão de bits. Isso também é conhecido como decimação na sequência de tempo. O cálculo no local de um DFT de oito pontos é mostrado em um formato tabular, conforme mostrado abaixo -
PONTOS | FORMATO BINÁRIO | REVERSÃO | PONTOS EQUIVALENTES |
---|---|---|---|
0 | 000 | 000 | 0 |
1 | 001 | 100 | 4 |
2 | 010 | 010 | 2 |
3 | 011 | 110 | 6 |
4 | 100 | 001 | 1 |
5 | 101 | 101 | 5 |
6 | 110 | 011 | 3 |
7 | 111 | 111 | 7 |
Decimação na sequência de frequência
Além da sequência de tempo, uma sequência de N pontos também pode ser representada em frequência. Tomemos uma seqüência de quatro pontos para entendê-lo melhor.
Que a sequência seja $x[0], x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6], x[7]$. Vamos agrupar dois pontos em um grupo, inicialmente. Matematicamente, essa sequência pode ser escrita como;
$$x[k] = \sum_{n = 0}^{N-1}x[n]W_N^{n-k}$$Agora vamos fazer um grupo de número de seqüência 0 a 3 e outro grupo de seqüência 4 a 7. Agora, matematicamente isso pode ser mostrado como;
$$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[n]W_N^{nk}+\displaystyle\sum\limits_{n = N/2}^{N-1}x[n]W_N^{nk}$$Vamos substituir n por r, onde r = 0, 1, 2 ... (N / 2-1). Matematicamente,
$$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\frac{N}{2}-1}x[r]W_{N/2}^{nr}$$Pegamos os primeiros quatro pontos (x [0], x [1], x [2], x [3]) inicialmente e tentamos representá-los matematicamente da seguinte forma -
$\sum_{n = 0}^3x[n]W_8^{nk}+\sum_{n = 0}^3x[n+4]W_8^{(n+4)k}$
$= \lbrace \sum_{n = 0}^3x[n]+\sum_{n = 0}^3x[n+4]W_8^{(4)k}\rbrace \times W_8^{nk}$
agora $X[0] = \sum_{n = 0}^3(X[n]+X[n+4])$
$X[1] = \sum_{n = 0}^3(X[n]+X[n+4])W_8^{nk}$
$= [X[0]-X[4]+(X[1]-X[5])W_8^1+(X[2]-X[6])W_8^2+(X[3]-X[7])W_8^3$
Podemos dividi-lo em mais duas partes, o que significa que em vez de quebrá-los como uma sequência de 4 pontos, podemos quebrá-los em uma sequência de 2 pontos.
Os filtros FIR podem ser úteis para fazer projetos de filtros auxiliados por computador. Vamos dar um exemplo e ver como funciona. A seguir está uma figura do filtro desejado.
Ao fazer o projeto do computador, quebramos todas as figuras do gráfico contínuo em valores discretos. Dentro de certos limites, nós o dividimos em 64, 256 ou 512 (e assim por diante) número de partes com magnitudes discretas.
No exemplo acima, consideramos limites entre -π e + π. Dividimos em 256 partes. Os pontos podem ser representados como H (0), H (1),… .até H (256). Aqui, aplicamos o algoritmo IDFT e isso nos dará características de fase linear.
Às vezes, podemos estar interessados em alguma ordem específica de filtro. Vamos dizer que nós queremos realizar o acima determinado projeto a 9 ª filtro de ordem. Portanto, consideramos os valores do filtro como h0, h1, h2… .h9. Matematicamente, pode ser mostrado como abaixo
$$H(e^{j\omega}) = h_0+h_1e^{-j\omega}+h_2e^{-2j\omega}+.....+h_9e^{-9j\omega}$$Onde houver grande número de deslocamentos, tiramos o máximo de pontos.
Por exemplo, na figura acima, há uma queda repentina de inclinação entre os pontos B e C. Então, tentamos tomar valores mais discretos neste ponto, mas há uma inclinação constante entre os pontos C e D. Aí pegamos menos número de valores discretos.
Para projetar o filtro acima, passamos pelo processo de minimização como segue;
$H(e^{j\omega1}) = h_0+h_1e^{-j\omega1}+h_2e^{-2j\omega1}+.....+h_9e^{-9j\omega1}$
$H(e^{j\omega2}) = h_0+h_1e^{-j\omega2}+h_2e^{-2j\omega2}+.....+h_9e^{-9j\omega2}$
Similarmente,
$(e^{j\omega1000}) = h_0+h_1eH^{-j\omega1000}h_2e^{-2j\omega1000}+.....+h_9+e^{-9j\omega1000}$
Representando a equação acima em forma de matriz, temos -
$$\begin{bmatrix}H(e^{j\omega_1})\\.\\.\\H(e^{j\omega_{1000}}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e^{-j\omega_1} & ... & e^{-j9\omega_1} \\. & & . \\. & & . \\e^{-j\omega_{1000}} &... & e^{j9\omega_{1000}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}h_0\\.\\.\\h_9\end{bmatrix}$$Vamos tomar a matriz 1000 × 1 como B, a matriz 1000 × 9 como A e a matriz 9 × 1 como $\hat{h}$.
Então, para resolver a matriz acima, vamos escrever
$\hat{h} = [A^TA]^{-1}A^{T}B$
$= [A^{*T}A]^{-1}A^{*T}B$
onde A * representa o conjugado complexo da matriz A.