DSP - Z-Transform Inverse
Se quisermos analisar um sistema, que já está representado no domínio da frequência, como sinal de tempo discreto, então vamos para a transformação Z inversa.
Matematicamente, pode ser representado como;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$onde x (n) é o sinal no domínio do tempo e X (Z) é o sinal no domínio da frequência.
Se quisermos representar a equação acima em formato integral, podemos escrevê-la como
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Aqui, a integral está sobre um caminho fechado C. Este caminho está dentro do ROC de x (z) e contém a origem.
Métodos para encontrar a transformada Z inversa
Quando a análise é necessária no formato discreto, convertemos o sinal do domínio da frequência de volta ao formato discreto por meio da transformação Z inversa. Seguimos as quatro maneiras a seguir para determinar a transformação Z inversa.
- Método de Divisão Longa
- Método de expansão de fração parcial
- Método integral de resíduo ou contorno
Método de Divisão Longa
Neste método, a transformada Z do sinal x (z) pode ser representada como a razão do polinômio como mostrado abaixo;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Agora, se continuarmos a dividir o numerador pelo denominador, teremos uma série como mostrado abaixo
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$A sequência acima representa a série de transformada Z inversa do sinal dado (para n≥0) e o sistema acima é causal.
No entanto, para n <0, a série pode ser escrita como;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Método de expansão de fração parcial
Aqui também o sinal é expresso primeiro na forma N (z) / D (z).
Se for uma fração racional, será representada da seguinte forma;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
O acima é impróprio quando m <n e um ≠ 0
Se a proporção não for adequada (ou seja, inadequada), temos que convertê-la para a forma adequada para resolvê-la.
Método de resíduo ou contorno integral
Neste método, obtemos a transformada de Z inversa x (n) somando os resíduos de $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ em todos os pólos. Matematicamente, isso pode ser expresso como
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {all \ quad poles \ quad X (z)} resíduos \ quad of [x (z) Z ^ {n-1}] $$Aqui, o resíduo para qualquer pólo de ordem m em $ z = \ beta $ é
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$