Processamento de Sinal Digital - Introdução ao DFT

Como a transformada de Fourier de sinal de tempo contínuo, a transformada de Fourier de tempo discreto pode ser usada para representar uma sequência discreta em sua representação de domínio de frequência equivalente e sistema de tempo discreto LTI e desenvolver vários algoritmos computacionais.

X (jω) em FT contínuo, é uma função contínua de x (n). Entretanto, DFT trata da representação de x (n) com amostras de seu espectro X (ω). Conseqüentemente, esta ferramenta matemática tem muita importância computacionalmente em uma representação conveniente. Tanto sequências periódicas quanto não periódicas podem ser processadas por meio dessa ferramenta. As sequências periódicas precisam ser amostradas estendendo o período ao infinito.

Amostragem de domínio de frequência

Desde a introdução, é claro que precisamos saber como proceder através da amostragem no domínio da frequência, isto é, amostragem X (ω). Portanto, a relação entre a transformada de Fourier amostrada e a DFT é estabelecida da seguinte maneira.

Da mesma forma, sequências periódicas podem se ajustar a esta ferramenta, estendendo o período N ao infinito.

Seja uma sequência não periódica, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Definindo sua transformada de Fourier,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Aqui, X (ω) é amostrado periodicamente, a cada intervalo δω radianos.

Como X (ω) é periódico em 2π radianos, exigimos amostras apenas na faixa fundamental. As amostras são coletadas após intervalos equidistantes na faixa de frequência 0≤ω≤2π. O espaçamento entre os intervalos equivalentes é $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

Agora avaliando, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

onde k = 0,1, …… N-1

Depois de subdividir o acima, e trocar a ordem da soma

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

onde, n = 0,1,… .., N-1; 'p'- significa entidade ou função periódica

Os coeficientes de Fourier são,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

Comparando as equações 3 e 4, obtemos;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

Da expansão da série Fourier,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Onde n = 0,1, ..., N-1

Aqui, temos o sinal periódico de X (ω). $ x (n) $ pode ser extraído de $ x_p (n) $ apenas, se não houver apelido no domínio do tempo. $ N \ geq L $

N = período de $ x_p (n) $ L = período de $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Caso contrário \ end {cases} $

O mapeamento é feito dessa maneira.

Propriedades de DFT

Linearidade

Ele afirma que a DFT de uma combinação de sinais é igual à soma da DFT de sinais individuais. Tomemos dois sinais x ₁ (n) ex ₂ (n), cujas DFT s são X ₁ (ω) e X ₂ (ω) respectivamente. Então se

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ e $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Então $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

Onde a e b são constantes.

Simetria

As propriedades de simetria de DFT podem ser derivadas de maneira semelhante às propriedades de simetria de DTFT. Sabemos que DFT da sequência x (n) é denotado por X (K). Agora, se x (n) e X (K) são sequências de valor complexo, então ele pode ser representado como sob

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

E $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Propriedade de Dualidade

Vamos considerar um sinal x (n), cujo DFT é dado como X (K). Seja a sequência de duração finita X (N). Então, de acordo com o teorema da dualidade,

Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Então, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Assim, ao usar este teorema, se conhecermos DFT, podemos facilmente encontrar a sequência de duração finita.

Propriedades do Conjugado Complexo

Suponha que haja um sinal x (n), cujo DFT também é conhecido por nós como X (K). Agora, se o conjugado complexo do sinal é dado como x * (n), então podemos facilmente encontrar o DFT sem fazer muitos cálculos usando o teorema mostrado abaixo.

Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Então, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Mudança de frequência circular

A multiplicação da sequência x (n) com a sequência exponencial complexa $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ é equivalente ao deslocamento circular da DFT por L unidades de frequência. Esta é a propriedade de deslocamento temporal dual para circular.

Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Então, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Multiplicação de duas sequências

Se houver dois sinais x ₁ (n) e x ₂ (n) e seus respectivos DFTs são X ₁ (k) e X ₂ (K), então a multiplicação dos sinais na seqüência de tempo corresponde à convolução circular de seus DFTs.

Se, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Teorema de Parseval

Para sequências de valores complexos x (n) e y (n), em geral

Se, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Então, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $