DSP - Convolução Circular DFT
Vamos tomar duas sequências de duração finita x 1 (n) e x 2 (n), tendo comprimento inteiro como N. Suas DFTs são X 1 (K) e X 2 (K), respectivamente, que é mostrado abaixo -
$$ X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1 $$ $$ X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1 $$Agora, vamos tentar encontrar a DFT de outra sequência x 3 (n), que é dada como X 3 (K)
$ X_3 (K) = X_1 (K) \ vezes X_2 (K) $
Ao obter o IDFT do acima, obtemos
$ x_3 (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $
Depois de resolver a equação acima, finalmente, temos
$ x_3 (n) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1 $
| Pontos de comparação | Convolução Linear | Convolução Circular |
|---|---|---|
| Mudança | Deslocamento linear | Deslocamento circular |
| Amostras no resultado da convolução | $ N_1 + N_2−1 $ | $ Máx (N_1, N_2) $ |
| Encontrando a resposta de um filtro | Possível | Possível com preenchimento zero |
Métodos de convolução circular
Geralmente, existem dois métodos, que são adotados para realizar a convolução circular e são -
- Método de círculo concêntrico,
- Método de multiplicação de matrizes.
Método do Círculo Concêntrico
Sejam $ x_1 (n) $ e $ x_2 (n) $ duas sequências dadas. As etapas seguidas para a convolução circular de $ x_1 (n) $ e $ x_2 (n) $ são
Faça dois círculos concêntricos. Plote N amostras de $ x_1 (n) $ na circunferência do círculo externo (mantendo a mesma distância entre pontos sucessivos) no sentido anti-horário.
Para plotar $ x_2 (n) $, plote N amostras de $ x_2 (n) $ no sentido horário no círculo interno, começando a amostra colocada no mesmo ponto que a 0ª amostra de $ x_1 (n) $
Multiplique as amostras correspondentes nos dois círculos e adicione-os para obter a saída.
Gire o círculo interno no sentido anti-horário com uma amostra de cada vez.
Método de multiplicação de matriz
O método de matriz representa as duas sequências dadas $ x_1 (n) $ e $ x_2 (n) $ na forma de matriz.
Uma das sequências dadas é repetida por meio de deslocamento circular de uma amostra de cada vez para formar uma matriz NXN.
A outra sequência é representada como matriz de coluna.
A multiplicação de duas matrizes dá o resultado da convolução circular.