DSP - exemplos resolvidos de transformada Z

Exemplo 1

Encontre a resposta do sistema $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $, quando todas as condições iniciais são zero.

Solution - Tomando a transformada Z em ambos os lados da equação acima, obtemos

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ Rightarrow S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {z-2} - \ frac {1} {z-1} $

Tomando a transformada Z inversa da equação acima, obtemos

$ S (n) = Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-2}] - Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

Exemplo 2

Encontre a função do sistema H (z) e a resposta da amostra unitária h (n) do sistema cuja equação de diferença é descrita como em

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

onde, y (n) e x (n) são a saída e a entrada do sistema, respectivamente.

Solution - Tomando a transformada Z da equação de diferença acima, obtemos

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {- 1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}]} $

Este sistema tem um pólo em $ Z = \ frac {1} {2} $ e $ Z = 0 $ e $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

Portanto, tomando a transformada Z inversa acima, obtemos

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

Exemplo 3

Determine Y (z), n≥0 no seguinte caso -

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1) - \ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad dado \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution - Aplicando a transformada Z à equação acima, obtemos

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {- 1} Y (Z) + Y (-1)] - \ frac {1} {4} [Z ^ {- 2} Y ( Z) + Z ^ {- 1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z) - \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z} - \ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $