DSP - Filtragem Linear DFT

O DFT fornece uma abordagem alternativa para a convolução no domínio do tempo. Pode ser usado para realizar filtragem linear no domínio da frequência.

Assim, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

O problema nessa abordagem de domínio da frequência é que $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ e $ H (\ omega) $ são funções contínuas de ω, o que não é fecundo para computação digital em computadores. No entanto, o DFT fornece uma versão amostrada dessas formas de onda para resolver o propósito.

A vantagem é que, tendo conhecimento de técnicas de DFT mais rápidas como FFT, um algoritmo computacionalmente mais eficiente pode ser desenvolvido para computação digital em comparação com a abordagem no domínio do tempo.

Considere uma sequência de duração finita, $ [x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad e \ quad n \ geq L] $ (equação generalizada), excita um filtro linear com resposta ao impulso $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad e \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

A partir da análise de convolução, fica claro que a duração de y (n) é L + M − 1.

No domínio da frequência,

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Agora, $ Y (\ omega) $ é uma função contínua de ω e é amostrado em um conjunto de frequências discretas com número de amostras distintas que devem ser iguais ou superiores a $ L + M-1 $.

$$ DFT \ tamanho quad = N \ geq L + M-1 $$

Com $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, onde k = 0,1,…., N-1

Onde, X (k) e H (k) são DFTs de N pontos de x (n) eh (n), respectivamente. $ x (n) \ & h (n) $ são preenchidos com zeros até o comprimento N. Isso não distorce os espectros contínuos $ X (\ omega) $ e $ H (\ omega) $. Como $ N \ geq L + M-1 $, N-pontos DFT da sequência de saída y (n) é suficiente para representar y (n) no domínio da frequência e esses fatos inferem que a multiplicação de N-pontos DFTs de X (k ) e H (k), seguido pelo cálculo de N-pontos IDFT deve resultar em y (n).

Isso implica, convolução circular de N pontos de x (n) e H (n) com preenchimento de zero, igual à convolução linear de x (n) eh (n).

Assim, o DFT pode ser usado para filtragem linear.

Caution- N deve ser sempre maior ou igual a $ L + M-1 $. Caso contrário, o efeito de aliasing corromperia a sequência de saída.