การสร้าง Root Locus

root locusเป็นการแสดงกราฟิกใน s-domain และสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง เนื่องจากเสาวงเปิดและศูนย์มีอยู่ใน s-domain โดยมีค่าเป็นคู่คอนจูเกตที่ซับซ้อน ในบทนี้ให้เราพูดถึงวิธีการสร้าง (วาด) ตำแหน่งราก

กฎสำหรับการสร้างรูทโลคัส

ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เพื่อสร้างรูทโลคัส

Rule 1 - ค้นหาเสาวงเปิดและศูนย์ในระนาบ 's'

Rule 2 - ค้นหาจำนวนสาขารากของโลคัส

เรารู้ว่ากิ่งก้านของรูตโลคัสเริ่มต้นที่เสาลูปเปิดและสิ้นสุดที่ศูนย์ลูปเปิด ดังนั้นจำนวนกิ่งโลคัสรากN เท่ากับจำนวนเสาวงเปิดที่ จำกัด P หรือจำนวนศูนย์วงเปิดที่ จำกัด Zแล้วแต่จำนวนใดจะสูงกว่า

ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนจำนวนสาขารากของโลคัสได้ N เช่น

$ N = P $ ถ้า $ P \ geq Z $

$ N = Z $ ถ้า $ P <Z $

Rule 3 - ระบุและวาดไฟล์ real axis root locus branches.

หากมุมของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดที่จุดหนึ่งเป็นผลคูณคี่ของ 180 0 แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนตำแหน่งราก ถ้าจำนวนคี่ของเสาวงเปิดและศูนย์อยู่ทางด้านซ้ายของจุดบนแกนจริงจุดนั้นจะอยู่บนกิ่งโลคัสรูท ดังนั้นกิ่งก้านของจุดที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือแกนจริงของกิ่งโลคัสราก

Rule 4 - ค้นหาเซนทรอยด์และมุมของเส้นกำกับ

  • ถ้า $ P = Z $ สาขารากทั้งหมดจะเริ่มต้นที่เสาวงเปิด จำกัด และสิ้นสุดที่เลขศูนย์วงเปิด จำกัด

  • ถ้า $ P> Z $ จำนวนรากโลคัสจำนวน $ Z $ เริ่มต้นที่เสาวงเปิด จำกัด และสิ้นสุดที่เลขศูนย์วงเปิด จำกัด และจำนวนรากโลคัส $ P - Z $ เริ่มต้นที่เสาวงเปิด จำกัด และสิ้นสุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ศูนย์ลูปเปิด

  • ถ้า $ P <Z $ จำนวน P ของสาขารูทโลคัสเริ่มต้นที่เสาวงเปิด จำกัด และสิ้นสุดที่เลขศูนย์วงเปิด จำกัด และ $ Z - P $ ของกิ่งโลคัสรากเริ่มต้นที่เสาลูปเปิดไม่สิ้นสุดและสิ้นสุดที่วงเปิด จำกัด ศูนย์

ดังนั้นกิ่งก้านรากบางส่วนจึงเข้าใกล้อินฟินิตี้เมื่อ $ P \ neq Z $ เส้นกำกับให้ทิศทางของกิ่งโลคัสรูทเหล่านี้ จุดตัดของเส้นกำกับบนแกนจริงเรียกว่าcentroid.

เราสามารถคำนวณ centroid α โดยใช้สูตรนี้

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \: poles \: - \ sum Real \: part \: of \: finite \: open \: loop \ : zeros} {PZ} $

สูตรสำหรับมุมของ asymptotes θ คือ

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$

ที่ไหน

$$ q = 0,1,2, .... , (PZ) -1 $$

Rule 5 - ค้นหาจุดตัดของกิ่งโลคัสรูทด้วยแกนจินตภาพ

เราสามารถคำนวณจุดที่กิ่งโลคัสรากตัดกับแกนจินตภาพและค่าของ K ณ จุดนั้นโดยใช้เมธอดอาร์เรย์ Routh และพิเศษ case (ii).

  • หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใด ๆ ของอาร์เรย์ Routh เป็นศูนย์ดังนั้นสาขาของรูทโลคัสจะตัดแกนจินตภาพและในทางกลับกัน

  • ระบุแถวในลักษณะที่ว่าถ้าเราทำให้องค์ประกอบแรกเป็นศูนย์องค์ประกอบของทั้งแถวจะเป็นศูนย์ ค้นหาค่าของK สำหรับชุดค่าผสมนี้

  • แทนที่สิ่งนี้ Kค่าในสมการเสริม คุณจะได้จุดตัดของกิ่งโลคัสรูทด้วยแกนจินตภาพ

Rule 6 - ค้นหาจุด Break-away และ Break-in

  • หากมีกิ่งโลคัสรูทแกนจริงอยู่ระหว่างเสาลูปเปิดสองอันจะมี break-away point อยู่ระหว่างเสาวงเปิดทั้งสองนี้

  • หากมีกิ่งโลคัสรูทแกนจริงอยู่ระหว่างศูนย์ลูปเปิดสองตัวจะมี break-in point อยู่ระหว่างเลขศูนย์วงเปิดทั้งสองนี้

Note - จุดพักและจุดแตกหักมีอยู่เฉพาะบนกิ่งโลคัสรากของแกนจริงเท่านั้น

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาจุดพักและจุดพัก

  • เขียน $ K $ ในรูปของ $ s $ จากสมการคุณลักษณะ $ 1 + G (s) H (s) = 0 $

  • แยกความแตกต่างของ $ K $ เทียบกับ s และทำให้มันเท่ากับศูนย์ แทนค่าเหล่านี้ของ $ s $ ในสมการด้านบน

  • ค่าของ $ s $ ซึ่งค่า $ K $ เป็นค่าบวกคือค่า break points.

Rule 7 - ค้นหามุมของการออกเดินทางและมุมของการมาถึง

มุมของการออกเดินทางและมุมของการมาถึงสามารถคำนวณได้ที่เสาวงเปิดคอนจูเกตที่ซับซ้อนและศูนย์วงเปิดคอนจูเกตที่ซับซ้อนตามลำดับ

สูตรสำหรับ angle of departure $ \ phi_d $ คือ

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

สูตรสำหรับ angle of arrival $ \ phi_a $ คือ

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

ที่ไหน

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

ตัวอย่าง

ตอนนี้ให้เราวาดตำแหน่งรากของระบบควบคุมที่มีฟังก์ชั่นการโอนลูปเปิด $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $

Step 1- ฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดที่กำหนดมีสามขั้วที่ $ s = 0, s = −1 $ และ $ s = −5 $ มันไม่มีศูนย์เลย ดังนั้นจำนวนสาขารากของโลคัสจึงเท่ากับจำนวนเสาของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิด

$$ N = P = 3 $$

เสาทั้งสามตั้งอยู่ดังแสดงในรูปด้านบน ส่วนของเส้นตรงระหว่าง $ s = −1 $ และ $ s = 0 $ คือสาขาหนึ่งของตำแหน่งรากบนแกนจริง และอีกสาขาหนึ่งของตำแหน่งรากบนแกนจริงคือส่วนของเส้นตรงทางด้านซ้ายของ $ s = −5 $

Step 2 - เราจะได้รับค่าของเซนทรอยด์และมุมของเส้นกำกับโดยใช้สูตรที่กำหนด

เซนทรอยด์ $ \ alpha = −2 $

มุมของเส้นกำกับคือ $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ และ $ 300 ^ 0 $

เซนทรอยด์และเส้นกำกับสามเส้นแสดงในรูปต่อไปนี้

Step 3- เนื่องจากเส้นกำกับสองเส้นมีมุม $ 60 ^ 0 $ และ $ 300 ^ 0 $ กิ่งโลคัสรากสองอันตัดกันแกนจินตภาพ โดยใช้วิธีอาร์เรย์ Routh และกรณีพิเศษ (ii) กิ่งโลคัสรากตัดกับแกนจินตภาพที่ $ j \ sqrt {5} $ และ $ −j \ sqrt {5} $

จะมีจุดแตกจุดหนึ่งบนกิ่งโลคัสรากแกนจริงระหว่างเสา $ s = −1 $ และ $ s = 0 $ โดยทำตามขั้นตอนที่กำหนดสำหรับการคำนวณจุดแตกเราจะได้รับเป็น $ s = −0.473 $

ไดอะแกรมรูทโลคัสสำหรับระบบควบคุมที่กำหนดแสดงในรูปต่อไปนี้

ด้วยวิธีนี้คุณสามารถวาดแผนภาพตำแหน่งรากของระบบควบคุมใด ๆ และสังเกตการเคลื่อนที่ของเสาของฟังก์ชันการถ่ายโอนวงปิด

จากไดอะแกรมรูทโลคัสเราสามารถทราบช่วงของค่า K สำหรับการทำให้หมาด ๆ ประเภทต่างๆ

ผลของการเพิ่ม Open Loop Poles และ Zeros บน Root Locus

ตำแหน่งรากสามารถเลื่อนเข้ามาได้ ‘s’ plane โดยการเพิ่มเสาวงเปิดและศูนย์วงเปิด

  • หากเรารวมเสาไว้ในฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดกิ่งไม้รากบางส่วนจะเคลื่อนไปทางครึ่งขวาของระนาบ 's' ด้วยเหตุนี้อัตราส่วนการลดลง $ \ delta $ จึงลดลง ซึ่งหมายความว่าความถี่ที่ลดลง $ \ omega_d $ จะเพิ่มขึ้นและข้อกำหนดของโดเมนเวลาเช่นเวลาล่าช้า $ t_d $ เวลาที่เพิ่มขึ้น $ t_r $ และเวลาสูงสุด $ t_p $ ลดลง แต่มันส่งผลต่อเสถียรภาพของระบบ

  • หากเรารวมศูนย์ไว้ในฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปแบบเปิดสาขาตำแหน่งรากบางส่วนจะเคลื่อนไปทางครึ่งซ้ายของระนาบ 's' ดังนั้นมันจะเพิ่มเสถียรภาพของระบบควบคุม ในกรณีนี้อัตราส่วนการทำให้หมาด ๆ $ \ delta $ เพิ่มขึ้น ซึ่งหมายความว่าความถี่ลดลง $ \ omega_d $ ลดลงและข้อกำหนดของโดเมนเวลาเช่นเวลาล่าช้า $ t_d $ เวลาเพิ่มขึ้น $ t_r $ และเวลาสูงสุด $ t_p $ เพิ่มขึ้น

ดังนั้นตามข้อกำหนดเราสามารถรวม (เพิ่ม) เสาลูปเปิดหรือศูนย์ในฟังก์ชันการถ่ายโอน