ระบบควบคุม - พล็อต Nyquist

แผนการนีควิสต์คือความต่อเนื่องของพล็อตเชิงขั้วสำหรับการค้นหาเสถียรภาพของระบบควบคุมวงปิดโดยเปลี่ยนจาก −∞ ถึง∞ นั่นหมายความว่าพล็อต Nyquist ใช้เพื่อวาดการตอบสนองความถี่ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิด

เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist

เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist ทำงานบน principle of argument. ระบุว่าหากมีเสา P และศูนย์ Z ล้อมรอบด้วยเส้นทางปิดของระนาบ 's' ระนาบ $ G (s) H (s) $ ที่สอดคล้องกันจะต้องล้อมรอบจุดเริ่มต้น $ P - Z $ เท่า ดังนั้นเราสามารถเขียนจำนวนรอบ N เป็น

$$ N = PZ $$

  • หากเส้นทางปิดของระนาบที่ปิดล้อมมีเพียงเสาดังนั้นทิศทางของการล้อมรอบในระนาบ $ G (s) H (s) $ จะตรงข้ามกับทิศทางของเส้นทางปิดที่ปิดล้อมในระนาบ 's'

  • หากเส้นทางปิดของระนาบที่ปิดล้อมมีเพียงศูนย์ดังนั้นทิศทางของการล้อมรอบในระนาบ $ G (s) H (s) $ จะเป็นไปในทิศทางเดียวกับเส้นทางปิดที่ปิดอยู่ใน 's' เครื่องบิน.

ตอนนี้ให้เราใช้หลักการของอาร์กิวเมนต์กับครึ่งทางขวาทั้งหมดของระนาบโดยเลือกเป็นเส้นทางปิด เส้นทางที่เลือกนี้เรียกว่าNyquist รูปร่าง

เราทราบดีว่าระบบควบคุมวงปิดจะมีเสถียรภาพหากเสาทั้งหมดของฟังก์ชันการถ่ายโอนวงปิดอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ 's' ดังนั้นขั้วของฟังก์ชันการถ่ายโอนวงปิดจึงไม่มีอะไรนอกจากรากของสมการลักษณะเฉพาะ เมื่อลำดับของสมการลักษณะเฉพาะเพิ่มขึ้นจึงเป็นการยากที่จะหาราก ดังนั้นขอให้เราเชื่อมโยงรากของสมการลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้

  • เสาของสมการลักษณะจะเหมือนกับเสาของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิด

  • เลขศูนย์ของสมการลักษณะจะเหมือนกับขั้วของฟังก์ชันการถ่ายโอนวงปิด

เราทราบดีว่าระบบควบคุมวงเปิดมีความเสถียรหากไม่มีเสาวงเปิดอยู่ที่ครึ่งขวาของระนาบ 's'

กล่าวคือ $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

เราทราบดีว่าระบบควบคุมวงปิดมีความเสถียรหากไม่มีเสาวงปิดอยู่ที่ครึ่งขวาของระนาบ 's'

กล่าวคือ $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterionระบุจำนวนรอบของจุดวิกฤต (1 + j0) จะต้องเท่ากับขั้วของสมการลักษณะเฉพาะซึ่งไม่มีอะไรนอกจากเสาของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดในครึ่งขวาของระนาบ 's' การเปลี่ยนแหล่งกำเนิดเป็น (1 + j0) ให้ระนาบสมการลักษณะเฉพาะ

กฎสำหรับการวาดพล็อต Nyquist

ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้ในการวางผัง Nyquist

  • ค้นหาเสาและศูนย์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิด $ G (s) H (s) $ ในระนาบ 's'

  • วาดพล็อตเชิงขั้วโดยเปลี่ยน $ \ omega $ จากศูนย์ถึงอินฟินิตี้ ถ้ามีขั้วหรือศูนย์อยู่ที่ s = 0 แสดงว่า $ \ omega $ จาก 0+ ถึงอินฟินิตี้สำหรับวาดพล็อตเชิงขั้ว

  • วาดภาพสะท้อนของพล็อตเชิงขั้วด้านบนเพื่อหาค่า $ \ omega $ ตั้งแต่ −∞ ถึงศูนย์ (0 -ถ้ามีขั้วใดหรือศูนย์อยู่ที่ s = 0)

  • จำนวนครึ่งวงกลมรัศมีอนันต์จะเท่ากับจำนวนเสาหรือศูนย์ที่จุดกำเนิด ครึ่งวงกลมรัศมีอนันต์จะเริ่มต้นที่จุดที่ภาพสะท้อนของพล็อตเชิงขั้วสิ้นสุดลง และครึ่งวงกลมรัศมีอนันต์นี้จะสิ้นสุดที่จุดที่พล็อตเชิงขั้วเริ่มต้น

หลังจากวาดพล็อต Nyquist แล้วเราสามารถค้นหาเสถียรภาพของระบบควบคุมวงปิดโดยใช้เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist หากจุดวิกฤต (-1 + j0) อยู่นอกวงล้อมระบบควบคุมวงปิดจะมีเสถียรภาพอย่างแน่นอน

การวิเคราะห์เสถียรภาพโดยใช้ Nyquist Plots

จากแผนการของ Nyquist เราสามารถระบุได้ว่าระบบควบคุมมีความเสถียรเสถียรเล็กน้อยหรือไม่เสถียรตามค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้

  • ได้รับความถี่ข้ามและเฟสข้ามความถี่
  • รับมาร์จิ้นและระยะขอบเฟส

เฟสข้ามความถี่

ความถี่ที่พล็อต Nyquist ตัดกับแกนจริงเชิงลบ (มุมเฟสคือ 180 0 ) เรียกว่าphase cross over frequency. แสดงโดย $ \ omega_ {pc} $

ได้รับข้ามความถี่

ความถี่ที่พล็อต Nyquist มีขนาดเท่ากันเรียกว่า gain cross over frequency. แสดงโดย $ \ omega_ {gc} $

ความเสถียรของระบบควบคุมที่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างเฟสข้ามความถี่และการขยายข้ามความถี่แสดงอยู่ด้านล่าง

  • ถ้าเฟสข้ามความถี่ $ \ omega_ {pc} $ มากกว่ากำไรข้ามความถี่ $ \ omega_ {gc} $ ระบบควบคุมจะ stable.

  • ถ้าเฟสข้ามความถี่ $ \ omega_ {pc} $ เท่ากับกำไรข้ามความถี่ $ \ omega_ {gc} $ ระบบควบคุมจะ marginally stable.

  • ถ้าเฟสข้ามความถี่ $ \ omega_ {pc} $ น้อยกว่ากำไรข้ามความถี่ $ \ omega_ {gc} $ ระบบควบคุมจะ unstable.

รับมาร์จิ้น

กำไรส่วนต่าง $ GM $ เท่ากับผลต่างของขนาดของพล็อต Nyquist ที่เฟสข้ามความถี่

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

โดยที่ $ M_ {pc} $ คือขนาดในมาตราส่วนปกติที่เฟสข้ามความถี่

ระยะขอบเฟส

ระยะขอบเฟส $ PM $ เท่ากับผลรวม 180 0และมุมเฟสที่อัตราขยายข้ามความถี่

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

โดยที่ $ \ phi_ {gc} $ คือมุมเฟสที่อัตราขยายข้ามความถี่

ความเสถียรของระบบควบคุมตามความสัมพันธ์ระหว่างอัตรากำไรและระยะขอบของเฟสแสดงไว้ด้านล่าง

  • ถ้าอัตรากำไร $ GM $ มากกว่าหนึ่งและระยะขอบเฟส $ PM $ เป็นบวกระบบควบคุมจะเป็นเช่นนั้น stable.

  • หากอัตรากำไร $ GM $ เท่ากับหนึ่งและระยะขอบเฟส $ PM $ เท่ากับศูนย์องศาระบบควบคุมจะเป็น marginally stable.

  • หากอัตรากำไร $ GM $ น้อยกว่าหนึ่งและ / หรือระยะขอบเฟส $ PM $ เป็นลบระบบควบคุมจะ unstable.