ระบบควบคุม - พล็อตเชิงขั้ว

ในบทก่อนหน้านี้เราได้พูดถึงเรื่อง Bode plot ที่นั่นเรามีสองพล็อตแยกกันสำหรับขนาดและเฟสเป็นฟังก์ชันของความถี่ ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับแปลงขั้ว พล็อตเชิงขั้วคือพล็อตที่สามารถวาดได้ระหว่างขนาดและเฟส ที่นี่ขนาดจะแสดงด้วยค่าปกติเท่านั้น

รูปขั้วของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ คือ

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ มุม G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Polar plotคือพล็อตซึ่งสามารถวาดได้ระหว่างขนาดและมุมเฟสของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ โดยเปลี่ยน $ \ omega $ จากศูนย์ถึง∞ แผ่นกราฟเชิงขั้วจะแสดงในรูปต่อไปนี้

แผ่นกราฟนี้ประกอบด้วยวงกลมศูนย์กลางและเส้นเรเดียล concentric circles และ radial linesแสดงขนาดและมุมเฟสตามลำดับ มุมเหล่านี้แสดงด้วยค่าบวกในทิศทางต่อต้านนาฬิกา ในทำนองเดียวกันเราสามารถแทนค่ามุมด้วยค่าลบในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ตัวอย่างเช่นมุม 270 0ในทิศทางป้องกันนาฬิกาเท่ากับมุม −90 0ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

กฎสำหรับการวาดพล็อตเชิงขั้ว

ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้สำหรับการวางผังขั้ว

  • แทนที่ $ s = j \ omega $ ในฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิด

  • เขียนนิพจน์สำหรับขนาดและเฟสของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $

  • ค้นหาขนาดเริ่มต้นและเฟสของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ โดยแทนที่ $ \ omega = 0 $ ดังนั้นพล็อตเชิงขั้วจึงเริ่มต้นด้วยขนาดนี้และมุมเฟส

  • หาขนาดสิ้นสุดและเฟสของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ โดยการแทนที่ $ \ omega = \ infty $ ดังนั้นพล็อตเชิงขั้วจะจบลงด้วยขนาดนี้และมุมเฟส

  • ตรวจสอบว่าพล็อตเชิงขั้วตัดกับแกนจริงหรือไม่โดยกำหนดให้ระยะจินตภาพของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ เท่ากับศูนย์และหาค่าของ $ \ omega $

  • ตรวจสอบว่าพล็อตเชิงขั้วตัดกับแกนจินตภาพหรือไม่โดยกำหนดระยะจริงของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ เท่ากับศูนย์และหาค่าของ $ \ omega $

  • สำหรับการวาดพล็อตเชิงขั้วให้ชัดเจนยิ่งขึ้นให้ค้นหาขนาดและเฟสของ $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ โดยพิจารณาค่าอื่น ๆ ของ $ \ omega $

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันการถ่ายโอนวงเปิดของระบบควบคุมวงปิด

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

ให้เราวาดพล็อตเชิงขั้วสำหรับระบบควบคุมนี้โดยใช้กฎข้างต้น

Step 1 - แทนที่ $ s = j \ omega $ ในฟังก์ชั่นการโอนลูปเปิด

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

ขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดคือ

$$ M = \ frac {5} {\ โอเมก้า (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

มุมเฟสของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดคือ

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 - ตารางต่อไปนี้แสดงขนาดและมุมเฟสของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดที่ $ \ omega = 0 $ rad / วินาทีและ $ \ omega = \ infty $ rad / วินาที

ความถี่ (rad / วินาที) ขนาด มุมเฟส (องศา)
0 -90 หรือ 270
0 -270 หรือ 90

ดังนั้นพล็อตเชิงขั้วเริ่มต้นที่ (∞, −90 0 ) และสิ้นสุดที่ (0, −270 0 ) คำศัพท์ที่หนึ่งและสองภายในวงเล็บจะระบุขนาดและมุมเฟสตามลำดับ

Step 3- ขึ้นอยู่กับพิกัดเชิงขั้วเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดพล็อตเชิงขั้วนี้จะตัดแกนจริงเชิงลบ มุมเฟสที่สอดคล้องกับแกนจริงเชิงลบ -180 0หรือ 180 0 ดังนั้นโดยการหาค่ามุมเฟสของฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดเป็น −180 0หรือ 180 0เราจะได้ค่า $ \ omega $ เป็น $ \ sqrt {2} $

ด้วยการแทนที่ $ \ omega = \ sqrt {2} $ ในขนาดของฟังก์ชันการโอนลูปเปิดเราจะได้ $ M = 0.83 $ ดังนั้นพล็อตเชิงขั้วจะตัดแกนจริงเชิงลบเมื่อ $ \ omega = \ sqrt {2} $ และพิกัดเชิงขั้วคือ (0.83, −180 0 )

ดังนั้นเราสามารถวาดพล็อตเชิงขั้วโดยใช้ข้อมูลข้างต้นบนแผ่นกราฟเชิงขั้ว