การตอบสนองของระบบการสั่งซื้อครั้งแรก
ในบทนี้ให้เราพิจารณาการตอบสนองตามเวลาของระบบลำดับแรก พิจารณาแผนภาพบล็อกต่อไปนี้ของระบบควบคุมวงปิด ที่นี่ฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปแบบเปิด $ \ frac {1} {sT} $ เชื่อมโยงกับข้อเสนอแนะเชิงลบที่เป็นเอกภาพ
เรารู้ว่าฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบควบคุมวงปิดมีข้อเสนอแนะเชิงลบที่เป็นเอกภาพเช่น
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
แทนที่ $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ ในสมการด้านบน
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$
พลังของ s เป็นหนึ่งในเทอมตัวส่วน ดังนั้นฟังก์ชันการถ่ายโอนข้างต้นจึงเป็นลำดับแรกและระบบกล่าวว่าเป็นไฟล์first order system.
เราสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่เป็น
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $$
ที่ไหน
C(s) คือการแปลง Laplace ของสัญญาณเอาต์พุต c (t)
R(s) คือการแปลง Laplace ของสัญญาณอินพุต r (t) และ
T คือค่าคงที่ของเวลา
ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อรับการตอบสนอง (เอาต์พุต) ของระบบลำดับแรกในโดเมนเวลา
ใช้การแปลง Laplace ของสัญญาณอินพุต $ r (t) $
พิจารณาสมการ $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
แทนค่า $ R (s) $ ในสมการด้านบน
ทำเศษส่วนบางส่วนของ $ C (s) $ ถ้าจำเป็น
ใช้การแปลง Laplace ผกผันเป็น $ C (s) $
ในบทที่แล้วเราได้เห็นสัญญาณทดสอบมาตรฐานเช่นแรงกระตุ้นขั้นตอนทางลาดและพาราโบลา ตอนนี้ให้เราค้นหาการตอบสนองของระบบการสั่งซื้อแรกสำหรับแต่ละอินพุตทีละรายการ ชื่อของการตอบสนองจะได้รับตามชื่อของสัญญาณอินพุต ตัวอย่างเช่นการตอบสนองของระบบสำหรับอินพุทอิมพัลส์เรียกว่าเป็นการตอบสนองอิมพัลส์
การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบสั่งซื้อครั้งแรก
พิจารณาไฟล์ unit impulse signal เป็นข้อมูลเข้าสู่ระบบคำสั่งแรก
ดังนั้น $ r (t) = \ delta (t) $
ใช้ Laplace transform ทั้งสองข้าง
$ R (s) = 1 $
พิจารณาสมการ $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
แทนที่ $ R (s) = 1 $ ในสมการด้านบน
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$
จัดเรียงสมการข้างต้นใหม่ในรูปแบบมาตรฐานของการแปลง Laplace
$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$
ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน
$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$
การตอบสนองของอิมพัลส์ของหน่วยแสดงในรูปต่อไปนี้
unit impulse response, c (t) เป็นสัญญาณการสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับค่าบวกของ 't' และเป็นศูนย์สำหรับค่าลบของ 't'
ขั้นตอนการตอบสนองของระบบสั่งซื้อครั้งแรก
พิจารณาไฟล์ unit step signal เป็นข้อมูลเข้าสู่ระบบลำดับแรก
ดังนั้น $ r (t) = u (t) $
ใช้ Laplace transform ทั้งสองข้าง
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
พิจารณาสมการ $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
แทนที่ $ R (s) = \ frac {1} {s} $ ในสมการด้านบน
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
ทำเศษส่วนบางส่วนของ C (s)
$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
ทั้งสองด้านระยะตัวส่วนเหมือนกัน ดังนั้นพวกเขาจะถูกยกเลิกซึ่งกันและกัน ดังนั้นจึงถือเอาเงื่อนไขตัวเศษ
$$ 1 = A \ left (sT + 1 \ right) + Bs $$
โดยการหาค่าคงที่ทั้งสองข้างคุณจะได้ A = 1
แทนที่ A = 1 และหาค่าสัมประสิทธิ์ของ s เงื่อนไขทั้งสองด้าน
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
แทนที่ A = 1 และ B = −T ในการขยายเศษส่วนบางส่วนของ $ C (s) $
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$
ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
unit step response, c (t) มีทั้งเงื่อนไขชั่วคราวและสถานะคงที่
เงื่อนไขชั่วคราวในการตอบสนองขั้นตอนของหน่วยคือ -
$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
เงื่อนไขคงที่ในการตอบสนองขั้นตอนหน่วยคือ -
$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$
รูปต่อไปนี้แสดงการตอบสนองขั้นตอนของหน่วย
ค่าของ unit step response, c(t)เป็นศูนย์ที่ t = 0 และสำหรับค่าลบทั้งหมดของ t มันจะค่อยๆเพิ่มขึ้นจากค่าศูนย์และในที่สุดก็ถึงหนึ่งในสภาวะคงที่ ดังนั้นค่าสถานะคงที่ขึ้นอยู่กับขนาดของอินพุต
การตอบสนองทางลาดของระบบการสั่งซื้อครั้งแรก
พิจารณาไฟล์ unit ramp signal เป็นข้อมูลเข้าสู่ระบบคำสั่งแรก
$ ดังนั้น r (t) = tu (t) $
ใช้ Laplace transform ทั้งสองข้าง
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$
พิจารณาสมการ $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
แทนที่ $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ ในสมการด้านบน
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$
ทำเศษส่วนบางส่วนของ $ C (s) $
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$
ทั้งสองด้านระยะตัวส่วนเหมือนกัน ดังนั้นพวกเขาจะถูกยกเลิกซึ่งกันและกัน ดังนั้นจึงถือเอาเงื่อนไขตัวเศษ
$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$
โดยการหาค่าคงที่ทั้งสองข้างคุณจะได้ A = 1
แทนที่ A = 1 และหาค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไข s ทั้งสองด้าน
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
ในทำนองเดียวกันให้แทนที่ B = −T และคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของ $ s ^ 2 $ ทั้งสองด้าน คุณจะได้รับ $ C = T ^ 2 $
แทนที่ A = 1, B = −T และ $ C = T ^ 2 $ ในการขยายเศษส่วนบางส่วนของ $ C (s) $
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$
ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน
$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
unit ramp response, c (t) มีทั้งเงื่อนไขชั่วคราวและสถานะคงที่
ระยะชั่วคราวในการตอบสนองทางลาดของหน่วยคือ -
$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
เงื่อนไขคงที่ในการตอบสนองทางลาดของหน่วยคือ -
$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$
รูปต่อไปนี้แสดงการตอบสนองทางลาดของหน่วย
unit ramp response, c (t) ตามสัญญาณอินพุตทางลาดของหน่วยสำหรับค่าบวกทั้งหมดของ t แต่มีการเบี่ยงเบนของหน่วย T จากสัญญาณอินพุต
การตอบสนองพาราโบลาของระบบลำดับแรก
พิจารณาไฟล์ unit parabolic signal เป็นข้อมูลเข้าสู่ระบบคำสั่งแรก
ดังนั้น $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $
ใช้ Laplace transform ทั้งสองข้าง
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$
พิจารณาสมการ $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
แทนที่ $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ ในสมการด้านบน
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$
ทำเศษส่วนบางส่วนของ $ C (s) $
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$
หลังจากทำให้ง่ายขึ้นคุณจะได้ค่า A, B, C และ D เป็น 1, $ -T, \: T ^ 2 \: และ \: −T ^ 3 $ ตามลำดับ แทนที่ค่าเหล่านี้ในการขยายเศษส่วนบางส่วนข้างต้นของ C (s)
$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $
ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน
$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$
unit parabolic response, c (t) มีทั้งเงื่อนไขชั่วคราวและสถานะคงที่
ระยะชั่วคราวในการตอบสนองพาราโบลาของหน่วยคือ
$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
เงื่อนไขคงที่ในการตอบสนองพาราโบลาของหน่วยคือ
$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$
จากการตอบสนองเหล่านี้เราสามารถสรุปได้ว่าระบบควบคุมคำสั่งแรกไม่เสถียรกับอินพุตทางลาดและพาราโบลาเนื่องจากการตอบสนองเหล่านี้เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ แม้ในเวลาที่ไม่สิ้นสุด ระบบควบคุมคำสั่งแรกมีความเสถียรด้วยอินพุตอิมพัลส์และขั้นตอนเนื่องจากการตอบสนองเหล่านี้มีเอาต์พุตที่ จำกัด แต่การตอบสนองของแรงกระตุ้นไม่มีเงื่อนไขที่คงที่ ดังนั้นสัญญาณขั้นตอนจึงถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในโดเมนเวลาสำหรับการวิเคราะห์ระบบควบคุมจากการตอบสนอง