ระบบควบคุม - การวิเคราะห์พื้นที่ของรัฐ

ในบทก่อนหน้านี้เราได้เรียนรู้วิธีการรับแบบจำลองพื้นที่สถานะจากสมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชันการถ่ายโอน ในบทนี้ให้เราพูดถึงวิธีการรับฟังก์ชันการถ่ายโอนจากแบบจำลองพื้นที่สถานะ

ถ่ายโอนฟังก์ชันจาก State Space Model

เรารู้ว่าแบบจำลองพื้นที่สถานะของระบบ Linear Time-Invariant (LTI) คือ -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

ใช้ Laplace Transform ทั้งสองด้านของสมการสถานะ

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$

ใช้ Laplace Transform ทั้งสองด้านของสมการผลลัพธ์

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

แทนค่า X ในสมการด้านบน

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

สมการข้างต้นแสดงถึงฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบได้โดยใช้สูตรนี้สำหรับระบบที่แสดงในแบบจำลองพื้นที่สถานะ

Note - เมื่อ $ D = [0] $ ฟังก์ชันการโอนจะเป็น

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

ให้เราคำนวณฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบที่แสดงในแบบจำลองพื้นที่สถานะเป็น

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

ที่นี่

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad และ \ quad D = [0] $$

สูตรสำหรับฟังก์ชันการโอนเมื่อ $ D = [0] $ คือ -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

แทนเมทริกซ์ A, B & C ในสมการข้างต้น

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

ดังนั้นฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบสำหรับแบบจำลองพื้นที่ของรัฐที่กำหนดคือ

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและคุณสมบัติ

หากระบบมีเงื่อนไขเริ่มต้นระบบจะสร้างเอาต์พุต เนื่องจากเอาต์พุตนี้มีอยู่แม้ว่าจะไม่มีอินพุตก็ตามจึงเรียกว่าzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนเป็น

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$

จากความสัมพันธ์ข้างต้นเราสามารถเขียนเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ $ \ phi (t) $ เป็น

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

ดังนั้นการตอบสนองอินพุตเป็นศูนย์สามารถหาได้โดยการคูณเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ $ \ phi (t) $ ด้วยเมทริกซ์เงื่อนไขเริ่มต้น

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ

ถ้า $ t = 0 $ เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะจะเท่ากับเมทริกซ์ Identity

$$ \ phi (0) = I $$
การผกผันของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะจะเหมือนกับเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะเพียงแค่แทนที่ 't' ด้วย '-t'

$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
ถ้า $ t = t_1 + t_2 $ เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะที่สอดคล้องกันจะเท่ากับการคูณของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะทั้งสองที่ $ t = t_1 $ และ $ t = t_2 $

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

ความสามารถในการควบคุมและการสังเกต

ตอนนี้ให้เราพูดถึงความสามารถในการควบคุมและการสังเกตของระบบควบคุมทีละระบบ

ความสามารถในการควบคุม

มีการกล่าวถึงระบบควบคุม controllable หากสถานะเริ่มต้นของระบบควบคุมถูกโอน (เปลี่ยน) ไปยังสถานะที่ต้องการอื่น ๆ โดยอินพุตที่ควบคุมในช่วงเวลา จำกัด

เราสามารถตรวจสอบความสามารถในการควบคุมของระบบควบคุมโดยใช้ Kalman’s test.

เขียนเมทริกซ์ $ Q_c $ ในรูปแบบต่อไปนี้

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $ Q_c $ และถ้ามันไม่เท่ากับศูนย์ระบบควบคุมจะสามารถควบคุมได้

การสังเกต

มีการกล่าวถึงระบบควบคุม observable หากสามารถกำหนดสถานะเริ่มต้นของระบบควบคุมได้โดยการสังเกตผลลัพธ์ในระยะเวลาที่ จำกัด

เราสามารถตรวจสอบการสังเกตของระบบควบคุมได้โดยใช้ Kalman’s test.

เขียนเมทริกซ์ $ Q_o $ ในรูปแบบต่อไปนี้

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ ขวา] $$
ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $ Q_o $ และถ้ามันไม่เท่ากับศูนย์ระบบควบคุมจะสังเกตได้

Example

ให้เราตรวจสอบความสามารถในการควบคุมและการสังเกตของระบบควบคุมซึ่งแสดงในแบบจำลองพื้นที่ของรัฐเป็น

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

ที่นี่

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad และ \ quad n = 2 $$

สำหรับ $ n = 2 $ เมทริกซ์ $ Q_c $ จะเป็น

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

เราจะได้ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เป็น

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $ Q_c $ ไม่เท่ากับศูนย์ระบบควบคุมที่กำหนดจึงสามารถควบคุมได้

สำหรับ $ n = 2 $ เมทริกซ์ $ Q_o $ จะเป็น -

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

ที่นี่

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad และ \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

เราจะได้รับผลคูณของเมทริกซ์ $ A ^ T $ และ $ C ^ T $ เป็น