สูตรกำไรของเมสัน

ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับ Mason's Gain Formula สมมติว่ามีเส้นทางเดินหน้า 'N' ในกราฟการไหลของสัญญาณ กำไรระหว่างอินพุตและโหนดเอาต์พุตของกราฟการไหลของสัญญาณไม่มีอะไรนอกจากtransfer functionของระบบ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรกำไรของ Mason

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

ที่ไหน

  • C(s) คือโหนดเอาต์พุต

  • R(s) คือโหนดอินพุต

  • T คือฟังก์ชันการถ่ายโอนหรือกำไรระหว่าง $ R (s) $ และ $ C (s) $

  • PiคือผมTHกำไรเส้นทางข้างหน้า

$ \ Delta = 1- (sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $

$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Δ ฉันจะได้รับจากΔโดยการเอาลูปที่มีการสัมผัสฉันTHเส้นทางข้างหน้า

พิจารณากราฟการไหลของสัญญาณต่อไปนี้เพื่อทำความเข้าใจคำศัพท์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องที่นี่

เส้นทาง

เป็นการส่งผ่านกิ่งก้านจากโหนดหนึ่งไปยังโหนดอื่น ๆ ตามทิศทางของลูกศรสาขา ไม่ควรข้ามโหนดใด ๆ มากกว่าหนึ่งครั้ง

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ และ $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

เส้นทางไปข้างหน้า

เส้นทางที่มีอยู่จากโหนดอินพุตไปยังโหนดเอาต์พุตเรียกว่า forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ และ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

ส่งต่อ Path Gain

ได้มาจากการคำนวณผลคูณของสาขาทั้งหมดของเส้นทางเดินหน้า

Examples - $ abcde $ คือกำไรของเส้นทางไปข้างหน้าของ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ และ abge คืออัตราขยายไปข้างหน้าของ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

วน

เส้นทางที่เริ่มต้นจากโหนดหนึ่งและสิ้นสุดที่โหนดเดียวกันเรียกว่า loop. ดังนั้นจึงเป็นเส้นทางปิด

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $

Loop Gain

ได้มาจากการคำนวณผลคูณของการเพิ่มสาขาทั้งหมดของลูป

Examples - $ b_j $ คือ loop gain ของ $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ g_h $ คือกำไรจากการวนซ้ำของ $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $

ลูปแบบไม่สัมผัส

นี่คือลูปซึ่งไม่ควรมีโหนดทั่วไป

Examples - ลูป $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ ไม่สัมผัสกัน

การคำนวณฟังก์ชันการถ่ายโอนโดยใช้สูตรกำไรของเมสัน

ให้เราพิจารณากราฟการไหลของสัญญาณเดียวกันเพื่อค้นหาฟังก์ชันการถ่ายโอน

  • จำนวนเส้นทางเดินหน้า N = 2

  • เส้นทางแรกคือ - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $

  • การเพิ่มเส้นทางไปข้างหน้าครั้งแรก $ p_1 = abcde $

  • เส้นทางข้างหน้าที่สองคือ - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $

  • กำไรของเส้นทางไปข้างหน้าที่สอง $ p_2 = abge $

  • จำนวนแต่ละลูป L = 5

  • ลูปคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ และ $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • กำไรจากการวนซ้ำคือ - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ และ $ l_5 = f $

  • จำนวนสองลูปที่ไม่สัมผัส = 2

  • คู่ลูปที่ไม่สัมผัสคู่แรกคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $

  • รับผลคูณของคู่ลูปที่ไม่สัมผัสคู่แรก $ l_1l_4 = bjdi $

  • คู่ลูปที่ไม่สัมผัสที่สองคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $

  • รับผลคูณของคู่ลูปแบบไม่สัมผัสที่สองคือ - $ l_1l_5 = bjf $

จำนวนลูปแบบไม่สัมผัสที่สูงกว่า (มากกว่าสอง) ไม่มีอยู่ในกราฟการไหลของสัญญาณนี้

พวกเรารู้,

$ \ Delta = 1- (sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $

$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $

$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

แทนค่าในสมการข้างต้น

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

ไม่มีการวนซ้ำที่ไม่สัมผัสกับเส้นทางเดินหน้าแรก

ดังนั้น $ \ Delta_1 = 1 $

ในทำนองเดียวกัน $ \ Delta_2 = 1 $ เนื่องจากไม่มีการวนซ้ำที่ไม่สัมผัสกับเส้นทางเดินหน้าที่สอง

แทนที่ N = 2 ในสูตรกำไรของ Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

แทนค่าที่จำเป็นทั้งหมดในสมการด้านบน

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

ดังนั้นฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ -

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $