สูตรกำไรของเมสัน
ตอนนี้ให้เราพูดคุยเกี่ยวกับ Mason's Gain Formula สมมติว่ามีเส้นทางเดินหน้า 'N' ในกราฟการไหลของสัญญาณ กำไรระหว่างอินพุตและโหนดเอาต์พุตของกราฟการไหลของสัญญาณไม่มีอะไรนอกจากtransfer functionของระบบ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรกำไรของ Mason
Mason’s gain formula is
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
ที่ไหน
C(s) คือโหนดเอาต์พุต
R(s) คือโหนดอินพุต
T คือฟังก์ชันการถ่ายโอนหรือกำไรระหว่าง $ R (s) $ และ $ C (s) $
PiคือผมTHกำไรเส้นทางข้างหน้า
$ \ Delta = 1- (sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $
$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $
$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$
Δ ฉันจะได้รับจากΔโดยการเอาลูปที่มีการสัมผัสฉันTHเส้นทางข้างหน้า
พิจารณากราฟการไหลของสัญญาณต่อไปนี้เพื่อทำความเข้าใจคำศัพท์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องที่นี่
เส้นทาง
เป็นการส่งผ่านกิ่งก้านจากโหนดหนึ่งไปยังโหนดอื่น ๆ ตามทิศทางของลูกศรสาขา ไม่ควรข้ามโหนดใด ๆ มากกว่าหนึ่งครั้ง
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ และ $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $
เส้นทางไปข้างหน้า
เส้นทางที่มีอยู่จากโหนดอินพุตไปยังโหนดเอาต์พุตเรียกว่า forward path.
Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ และ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
ส่งต่อ Path Gain
ได้มาจากการคำนวณผลคูณของสาขาทั้งหมดของเส้นทางเดินหน้า
Examples - $ abcde $ คือกำไรของเส้นทางไปข้างหน้าของ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ และ abge คืออัตราขยายไปข้างหน้าของ $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.
วน
เส้นทางที่เริ่มต้นจากโหนดหนึ่งและสิ้นสุดที่โหนดเดียวกันเรียกว่า loop. ดังนั้นจึงเป็นเส้นทางปิด
Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $
Loop Gain
ได้มาจากการคำนวณผลคูณของการเพิ่มสาขาทั้งหมดของลูป
Examples - $ b_j $ คือ loop gain ของ $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ g_h $ คือกำไรจากการวนซ้ำของ $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $
ลูปแบบไม่สัมผัส
นี่คือลูปซึ่งไม่ควรมีโหนดทั่วไป
Examples - ลูป $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ และ $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ ไม่สัมผัสกัน
การคำนวณฟังก์ชันการถ่ายโอนโดยใช้สูตรกำไรของเมสัน
ให้เราพิจารณากราฟการไหลของสัญญาณเดียวกันเพื่อค้นหาฟังก์ชันการถ่ายโอน
จำนวนเส้นทางเดินหน้า N = 2
เส้นทางแรกคือ - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $
การเพิ่มเส้นทางไปข้างหน้าครั้งแรก $ p_1 = abcde $
เส้นทางข้างหน้าที่สองคือ - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $
กำไรของเส้นทางไปข้างหน้าที่สอง $ p_2 = abge $
จำนวนแต่ละลูป L = 5
ลูปคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ และ $ y_5 \ rightarrow y_5 $.
กำไรจากการวนซ้ำคือ - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ และ $ l_5 = f $
จำนวนสองลูปที่ไม่สัมผัส = 2
คู่ลูปที่ไม่สัมผัสคู่แรกคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $
รับผลคูณของคู่ลูปที่ไม่สัมผัสคู่แรก $ l_1l_4 = bjdi $
คู่ลูปที่ไม่สัมผัสที่สองคือ - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $
รับผลคูณของคู่ลูปแบบไม่สัมผัสที่สองคือ - $ l_1l_5 = bjf $
จำนวนลูปแบบไม่สัมผัสที่สูงกว่า (มากกว่าสอง) ไม่มีอยู่ในกราฟการไหลของสัญญาณนี้
พวกเรารู้,
$ \ Delta = 1- (sum \: of \: all \: individual \: loop \: gains) $
$ + (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: two \: nontouching \: loops) $
$$ - (sum \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$
แทนค่าในสมการข้างต้น
$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $
$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $
ไม่มีการวนซ้ำที่ไม่สัมผัสกับเส้นทางเดินหน้าแรก
ดังนั้น $ \ Delta_1 = 1 $
ในทำนองเดียวกัน $ \ Delta_2 = 1 $ เนื่องจากไม่มีการวนซ้ำที่ไม่สัมผัสกับเส้นทางเดินหน้าที่สอง
แทนที่ N = 2 ในสูตรกำไรของ Mason
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$
แทนค่าที่จำเป็นทั้งหมดในสมการด้านบน
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$
ดังนั้นฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ -
$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $