ระบบควบคุม - ข้อผิดพลาดของสถานะคงที่

ความเบี่ยงเบนของเอาต์พุตของระบบควบคุมจากการตอบสนองที่ต้องการในสถานะคงที่เรียกว่า steady state error. แสดงเป็น $ e_ {ss} $ เราสามารถค้นหาข้อผิดพลาดสภาวะคงที่โดยใช้ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายดังนี้

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

ที่ไหน

E (s) คือการแปลง Laplace ของสัญญาณข้อผิดพลาด $ e (t) $

ให้เราพูดถึงวิธีการค้นหาข้อผิดพลาดของสถานะคงที่สำหรับข้อเสนอแนะที่เป็นเอกภาพและระบบควบคุมข้อเสนอแนะที่ไม่เป็นเอกภาพทีละรายการ

ข้อผิดพลาดของสถานะคงที่สำหรับระบบ Unity Feedback

พิจารณาแผนภาพบล็อกต่อไปนี้ของระบบควบคุมวงปิดซึ่งมีข้อเสนอแนะเชิงลบที่เป็นเอกภาพ

ที่ไหน

• R (s) คือการแปลง Laplace ของสัญญาณอินพุตอ้างอิง $ r (t) $
• C (s) คือการแปลง Laplace ของสัญญาณเอาต์พุต $ c (t) $

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบควบคุมวงปิดข้อเสนอแนะเชิงลบของเอกภาพเป็น

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

ผลลัพธ์ของจุดรวมคือ -

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

แทนค่า $ C (s) $ ในสมการด้านบน

$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

แทนค่า $ E (s) $ ในสูตรข้อผิดพลาดสถานะคงที่

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

ตารางต่อไปนี้แสดงข้อผิดพลาดสถานะคงที่และค่าคงที่ของข้อผิดพลาดสำหรับสัญญาณอินพุตมาตรฐานเช่นขั้นตอนของหน่วยทางลาดของหน่วยและสัญญาณพาราโบลาของหน่วย

สัญญาณอินพุต	ข้อผิดพลาดสถานะคงที่ $ e_ {ss} $	ค่าคงที่ของข้อผิดพลาด
สัญญาณขั้นตอนของหน่วย	$ \ frac {1} {1 + k_p} $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) $
สัญญาณทางลาดของหน่วย	$ \ frac {1} {K_v} $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $
สัญญาณพาราโบลาของหน่วย	$ \ frac {1} {K_a} $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $

โดยที่ $ K_p $, $ K_v $ และ $ K_a $ คือค่าคงที่ของข้อผิดพลาดตำแหน่งค่าคงที่ของข้อผิดพลาดความเร็วและค่าคงที่ของข้อผิดพลาดในการเร่งตามลำดับ

Note - หากสัญญาณอินพุตใด ๆ ข้างต้นมีแอมพลิจูดอื่นที่ไม่ใช่เอกภาพให้คูณข้อผิดพลาดสถานะคงตัวที่สอดคล้องกันด้วยแอมพลิจูดนั้น

Note- เราไม่สามารถกำหนดข้อผิดพลาดสถานะคงที่สำหรับสัญญาณอิมพัลส์หน่วยได้เนื่องจากมีอยู่ที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น ดังนั้นเราจึงไม่สามารถเปรียบเทียบการตอบสนองของอิมพัลส์กับอินพุทอิมพัลส์ของหน่วยเป็นt หมายถึงอินฟินิตี้

ตัวอย่าง

ให้เราค้นหาข้อผิดพลาดสถานะคงที่สำหรับสัญญาณอินพุต $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ ของระบบควบคุมข้อเสนอแนะเชิงลบที่เป็นเอกภาพกับ $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

สัญญาณอินพุตที่กำหนดคือการรวมกันของสัญญาณสามขั้นตอนทางลาดและพาราโบลา ตารางต่อไปนี้แสดงค่าคงที่ของข้อผิดพลาดและค่าความผิดพลาดของสถานะคงที่สำหรับสัญญาณทั้งสามนี้

สัญญาณอินพุต	ค่าคงที่ของข้อผิดพลาด	ข้อผิดพลาดสถานะคงที่
$ r_1 (t) = 5u (t) $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $	$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $
$ r_2 (t) = 2tu (t) $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $	$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $	$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

เราจะได้รับข้อผิดพลาดสถานะคงที่โดยรวมโดยการเพิ่มข้อผิดพลาดสถานะคงที่สามข้อข้างต้น

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อผิดพลาดสถานะคงที่ $ e_ {ss} $ as 1 สำหรับตัวอย่างนี้

ข้อผิดพลาดของสถานะคงที่สำหรับระบบคำติชมที่ไม่เป็นเอกภาพ

พิจารณาแผนภาพบล็อกต่อไปนี้ของระบบควบคุมวงปิดซึ่งมีข้อเสนอแนะเชิงลบที่ไม่มีชุมชน

เราสามารถค้นหาข้อผิดพลาดสถานะคงที่ได้เฉพาะสำหรับระบบข้อเสนอแนะที่เป็นเอกภาพเท่านั้น ดังนั้นเราจึงต้องแปลงระบบข้อเสนอแนะที่ไม่เป็นเอกภาพเป็นระบบข้อเสนอแนะที่เป็นเอกภาพ สำหรับสิ่งนี้ให้รวมเส้นทางการตอบรับเชิงบวกที่เป็นเอกภาพหนึ่งเส้นทางและเส้นทางการตอบรับเชิงลบของเอกภาพหนึ่งเส้นทางในแผนภาพบล็อกด้านบน แผนภาพบล็อกใหม่มีลักษณะดังที่แสดงด้านล่าง

ลดความซับซ้อนของแผนภาพบล็อกด้านบนโดยการรักษาความคิดเห็นเชิงลบที่เป็นเอกภาพเหมือนเดิม ต่อไปนี้เป็นแผนภาพบล็อกแบบง่าย

แผนภาพบล็อกนี้คล้ายกับแผนภาพบล็อกของระบบควบคุมลูปปิดเสียงตอบรับเชิงลบของเอกภาพ ที่นี่บล็อกเดียวมีฟังก์ชันการถ่ายโอน $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ แทน $ G (s) $ ขณะนี้คุณสามารถคำนวณข้อผิดพลาดสถานะคงที่ได้โดยใช้สูตรข้อผิดพลาดสถานะคงที่ที่กำหนดสำหรับระบบข้อเสนอแนะเชิงลบที่เป็นเอกภาพ

Note- ไม่มีความหมายที่จะค้นหาข้อผิดพลาดสถานะคงที่สำหรับระบบวงปิดที่ไม่เสถียร ดังนั้นเราจึงต้องคำนวณข้อผิดพลาดสถานะคงที่สำหรับระบบวงปิดที่เสถียรเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องตรวจสอบว่าระบบควบคุมเสถียรหรือไม่ก่อนที่จะพบข้อผิดพลาดสถานะคงที่ ในบทต่อไปเราจะพูดถึงเสถียรภาพที่เกี่ยวข้องกับแนวคิด