การวิเคราะห์การตอบสนองต่อความถี่
เราได้กล่าวถึงการวิเคราะห์การตอบสนองต่อเวลาของระบบควบคุมและข้อกำหนดโดเมนเวลาของระบบควบคุมลำดับที่สองแล้ว ในบทนี้ให้เราพูดถึงการวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ของระบบควบคุมและข้อกำหนดโดเมนความถี่ของระบบควบคุมลำดับที่สอง
การตอบสนองความถี่คืออะไร?
การตอบสนองของระบบสามารถแบ่งพาร์ติชันได้ทั้งการตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองสถานะคงที่ เราสามารถค้นหาการตอบสนองชั่วคราวได้โดยใช้อินทิกรัลฟูริเยร์ การตอบสนองสภาวะคงที่ของระบบสำหรับสัญญาณไซน์อินพุทเรียกว่าfrequency response. ในบทนี้เราจะเน้นเฉพาะการตอบสนองของสภาวะคงที่
หากใช้สัญญาณไซน์เป็นสัญญาณเข้าของระบบ Linear Time-Invariant (LTI) ระบบจะสร้างเอาต์พุตสถานะคงที่ซึ่งเป็นสัญญาณไซน์เช่นกัน สัญญาณไซน์อินพุทและเอาท์พุตมีความถี่เท่ากัน แต่แอมพลิจูดและมุมเฟสต่างกัน
ให้สัญญาณอินพุตเป็น -
$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$
ฟังก์ชันการถ่ายโอนลูปเปิดจะเป็น -
$$ G (s) = G (j \ omega) $$
เราสามารถแทนค่า $ G (j \ omega) $ ในรูปของขนาดและเฟสดังที่แสดงด้านล่าง
$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ มุม G (j \ โอเมก้า) $$
แทนที่ $ \ omega = \ omega_0 $ ในสมการด้านบน
$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ มุม G (j \ omega_0) $$
สัญญาณเอาต์พุตคือ
$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$
amplitude ของสัญญาณไซน์เอาท์พุทนั้นหาได้จากการคูณแอมพลิจูดของสัญญาณไซน์อินพุทและขนาดของ $ G (j \ omega) $ ที่ $ \ omega = \ omega_0 $
phase ของสัญญาณไซน์เอาท์พุทหาได้จากการเพิ่มเฟสของสัญญาณไซน์อินพุทและเฟสของ $ G (j \ omega) $ ที่ $ \ omega = \ omega_0 $
ที่ไหน
A คือแอมพลิจูดของสัญญาณไซน์อินพุท
ω0 คือความถี่เชิงมุมของสัญญาณไซน์อินพุท
เราสามารถเขียนความถี่เชิงมุม $ \ omega_0 $ ดังที่แสดงด้านล่าง
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
ที่นี่ $ f_0 $ คือความถี่ของสัญญาณไซน์อินพุท ในทำนองเดียวกันคุณสามารถทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับระบบควบคุมวงปิด
ข้อกำหนดโดเมนความถี่
ข้อกำหนดโดเมนความถี่คือ resonant peak, resonant frequency and bandwidth.
พิจารณาฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบควบคุมวงปิดลำดับที่สองเป็น
$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
แทนที่ $ s = j \ omega $ ในสมการด้านบน
$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
ให้ $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ แทนค่านี้ในสมการด้านบน
$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$
ขนาดของ $ T (j \ omega) $ คือ -
$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$
เฟสของ $ T (j \ omega) $ คือ -
$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$
ความถี่เรโซแนนซ์
เป็นความถี่ที่ขนาดของการตอบสนองความถี่มีค่าสูงสุดเป็นครั้งแรก แสดงโดย $ \ omega_r $ ที่ $ \ omega = \ omega_r $ อนุพันธ์แรกของขนาดของ $ T (j \ omega) $ เป็นศูนย์
แยกความแตกต่างของ $ M $ กับ $ u $
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
แทนที่ $ u = u_r $ และ $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ ในสมการด้านบน
$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
แทนที่ $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ ในสมการด้านบน
$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Resonant Peak
เป็นค่าสูงสุด (สูงสุด) ของขนาดของ $ T (j \ omega) $ แสดงโดย $ M_r $
ที่ $ u = u_r $ ขนาดของ $ T (j \ omega) $ คือ -
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$
แทนที่ $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ และ $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ ในสมการด้านบน
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
Resonant peak ในการตอบสนองความถี่สอดคล้องกับยอดเกินในการตอบสนองชั่วคราวของโดเมนเวลาสำหรับค่าบางค่าของอัตราส่วนการหน่วง $ \ delta $ ดังนั้นจุดสูงสุดที่ก้องกังวานและการแตกยอดจึงมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน
แบนด์วิดท์
เป็นช่วงของความถี่ที่ขนาดของ $ T (j \ omega) $ ลดลงเหลือ 70.7% จากค่าความถี่ศูนย์
ที่ $ \ omega = 0 $ ค่าของ $ u $ จะเป็นศูนย์
แทน $ u = 0 $ ใน M.
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
ดังนั้นขนาดของ $ T (j \ omega) $ จึงเท่ากับหนึ่งที่ $ \ omega = 0 $
ที่ความถี่ 3 dB ขนาดของ $ T (j \ omega) $ จะเท่ากับ 70.7% ของขนาดของ $ T (j \ omega) $ ที่ $ \ omega = 0 $
กล่าวคือที่ $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
ให้ $ u_b ^ 2 = x $
$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$
$$ \ Rightarrow x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
พิจารณาเฉพาะค่าบวกของ x
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
แทน $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
แบนด์วิดท์ $ \ omega_b $ ในการตอบสนองความถี่แปรผกผันกับเวลาที่เพิ่มขึ้น $ t_r $ ในการตอบสนองชั่วคราวของโดเมนเวลา