ระบบควบคุม - แบบจำลองพื้นที่ของรัฐ

state space model ของระบบ Linear Time-Invariant (LTI) สามารถแสดงเป็น

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

สมการที่หนึ่งและที่สองเรียกว่าสมการสถานะและสมการผลลัพธ์ตามลำดับ

ที่ไหน

  • X และ $ \ dot {X} $ คือเวกเตอร์สถานะและเวกเตอร์สถานะที่แตกต่างตามลำดับ

  • U และ Y เป็นเวกเตอร์อินพุตและเวกเตอร์เอาต์พุตตามลำดับ

  • A คือเมทริกซ์ของระบบ

  • B และ C คืออินพุตและเมทริกซ์เอาต์พุต

  • D คือเมทริกซ์ฟีดไปข้างหน้า

แนวคิดพื้นฐานของแบบจำลองอวกาศของรัฐ

คำศัพท์พื้นฐานต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องในบทนี้

สถานะ

เป็นกลุ่มของตัวแปรที่สรุปประวัติของระบบเพื่อทำนายค่าในอนาคต (ผลลัพธ์)

ตัวแปรสถานะ

จำนวนตัวแปรสถานะที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบหน่วยเก็บข้อมูลที่มีอยู่ในระบบ

Examples - กระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ

เวกเตอร์สถานะ

เป็นเวกเตอร์ซึ่งมีตัวแปรสถานะเป็นองค์ประกอบ

ในบทก่อนหน้านี้เราได้กล่าวถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สองแบบของระบบควบคุม นี่คือโมเดลสมการเชิงอนุพันธ์และแบบจำลองฟังก์ชันการถ่ายโอน แบบจำลองพื้นที่สถานะสามารถหาได้จากแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หนึ่งในสองแบบนี้ ตอนนี้ให้เราพูดถึงสองวิธีนี้ทีละวิธี

แบบจำลองอวกาศของรัฐจากสมการเชิงอนุพันธ์

พิจารณาชุดวงจร RLC ต่อไปนี้ มีแรงดันไฟฟ้าอินพุต $ v_i (t) $ และกระแสที่ไหลผ่านวงจรคือ $ i (t) $

มีองค์ประกอบการจัดเก็บสององค์ประกอบ (ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ) ในวงจรนี้ ดังนั้นจำนวนตัวแปรสถานะจึงเท่ากับสองและตัวแปรสถานะเหล่านี้คือกระแสที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ $ i (t) $ และแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ $ v_c (t) $

จากวงจรแรงดันเอาต์พุต $ v_0 (t) $ เท่ากับแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ $ v_c (t) $

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

ใช้ KVL รอบวง

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

แรงดันไฟฟ้าทั่วตัวเก็บประจุคือ -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

แยกความแตกต่างของสมการข้างต้นตามเวลา

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

เวกเตอร์สถานะ $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

เวกเตอร์สถานะดิฟเฟอเรนเชียล $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

เราสามารถจัดเรียงสมการเชิงอนุพันธ์และสมการผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานของแบบจำลองพื้นที่สถานะได้

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ จบ {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

ที่ไหน

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ start {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: and \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

State Space Model จาก Transfer Function

พิจารณาฟังก์ชันการถ่ายโอนสองประเภทตามประเภทของคำศัพท์ที่มีอยู่ในตัวเศษ

  • ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่มีระยะคงที่ในตัวนับ
  • ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่มีฟังก์ชันพหุนามของ 's' ในตัวนับ

ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่มีระยะคงที่ในตัวนับ

พิจารณาฟังก์ชันการถ่ายโอนต่อไปนี้ของระบบ

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

จัดเรียงใหม่สมการข้างต้นเป็น

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 คุณ (t) $$

ปล่อย

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

และ $ u (t) = u $

จากนั้น

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

จากสมการข้างต้นเราสามารถเขียนสมการสถานะต่อไปนี้

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

สมการผลลัพธ์คือ -

$$ y (t) = y = x_1 $$

แบบจำลองพื้นที่ของรัฐคือ -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

ที่นี่ $ D = \ left [0 \ right]. $

ตัวอย่าง

ค้นหาแบบจำลองพื้นที่สถานะสำหรับระบบที่มีฟังก์ชันการถ่ายโอน

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

จัดเรียงใหม่สมการข้างต้นเป็น

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

ปล่อย

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

และ $ u (t) = u $

จากนั้นสมการสถานะคือ

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

สมการผลลัพธ์คือ

$$ y (t) = y = x_1 $$

แบบจำลองพื้นที่ของรัฐคือ

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่มีฟังก์ชันพหุนามของ 's' ในตัวนับ

พิจารณาฟังก์ชันการถ่ายโอนต่อไปนี้ของระบบ

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

สมการข้างต้นอยู่ในรูปของผลคูณของฟังก์ชันการถ่ายโอนของสองช่วงตึกซึ่งเรียงซ้อนกัน

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

ที่นี่

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

จัดเรียงใหม่สมการข้างต้นเป็น

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

ปล่อย

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

และ $ u (t) = u $

จากนั้นสมการสถานะคือ

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

พิจารณา,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

จัดเรียงใหม่สมการข้างต้นเป็น

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

ใช้การแปลง Laplace ผกผันทั้งสองด้าน

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

โดยการแทนตัวแปรสถานะและ $ y (t) = y $ ในสมการข้างต้นจะได้สมการผลลัพธ์เป็น

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

แทนค่า $ \ dot {x} _n $ ในสมการด้านบน

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

แบบจำลองพื้นที่ของรัฐคือ

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ เริ่มต้น {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

ถ้า $ b_n = 0 $ ดังนั้น

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$