Dışbükey ve İçbükey İşlev

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, burada S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde ayarlanmış boş dışbükeydir, sonra $ f \ left (x \ right) $ 'ın S üzerinde dışbükey olduğu söylenir eğer $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ sağ) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.

Öte yandan, $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, burada S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş bir dışbükey kümedir, sonra $ f \ left (x \ right) $ $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) ise S üzerinde içbükey olmak ) f \ left (x_2 \ sağ), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ burada S, $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde ayarlanmış boş dışbükeydir, ardından $ f \ left (x \ right) $ 'ın S üzerinde kesinlikle dışbükey olduğu söylenir $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ) <\ lambda f \ left (x_1 \ sağ) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ burada S, $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde ayarlanmış boş dışbükeydir, sonra $ f \ left (x \ right) $ 'ın S üzerinde kesinlikle içbükey olduğu söylenir $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ)> \ lambda f \ left (x_1 \ sağ) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.

Örnekler

  • Doğrusal bir fonksiyon hem dışbükey hem de içbükeydir.

  • $ f \ left (x \ sağ) = \ sol | x \ right | $ bir dışbükey fonksiyondur.

  • $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ bir dışbükey fonksiyondur.

Teoremi

$ F_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ dışbükey fonksiyonlar olsun. $ F \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ burada $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2, ..k, $ sonra $ f \ left (x \ right) $ dışbükey bir fonksiyondur.

Kanıt

$ F_1, f_2, ... f_k $ dışbükey işlevlerdir

Bu nedenle, $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ sağ), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ ve $ i = 1, 2, ...., k $

$ F \ left (x \ right) $ işlevini düşünün.

Bu nedenle,

$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ) $

$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ sol (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ sağ) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ lambda f_j \ left (x_1 \ sağ) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f_j \ left (x_2 \ sağ) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ) \ leq \ lambda \ sol (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ sol ( x_1 \ sağ) \ sağ) + \ sol (\ Displaystyle \ toplamı \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ sağ) \ leq \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ sol (x_2 \ sağ) $

Dolayısıyla, $ f \ left (x \ right) $ dışbükey bir fonksiyondur.

Teoremi

$ F \ left (x \ right) $ bir dışbükey kümede bir dışbükey işlev olsun $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ o zaman $ f \ left (x \ right) $ on S üzerinde bir yerel minimum küresel minimum.

Kanıt

$ \ Hat {x} $, $ f \ left (x \ right) $ için yerel bir minimum olsun ve $ \ hat {x} $ global minimum değil.

bu nedenle, S $ içinde $ \ var \ hat {x} \ öyle ki $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $

$ \ Hat {x} $ yerel bir minimum olduğundan, $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ mahallesi vardır, öyle ki $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $

Ancak $ f \ left (x \ right) $, S üzerinde bir dışbükey fonksiyondur, dolayısıyla $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ için

$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ sol (\ bar {x} \ sağ) $

$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ left (\ hat {x} \ sağ) $

$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ sağ) $

Ancak bazı $ \ lambda <1 $ için ancak 1'e yakın,

$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ ve $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ sağ) $

bu bir çelişkidir.

Dolayısıyla, $ \ bar {x} $ küresel bir minimumdur.

Epigrafi

S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir alt küme olsun ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ olsun, o zaman epi (f) ile gösterilen f epigrafı veya $ E_f $ bir alt küme olsun $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $, $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right) ile tanımlı: x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ left (x \ sağ) \ leq \ alpha \ sağ \} $

Hipograf

S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir alt küme olsun ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ olsun, sonra hip (f) veya $ H_f = \ left ile gösterilen f hipografisi \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ sağ) \ geq \ alpha \ sağ \} $

Teoremi

S, $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde kümelenmiş boş olmayan bir dışbükey olsun ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ olsun, o zaman f sadece ve ancak $ E_f $ epigrafı ise dışbükey bir küme.

Kanıt

F dışbükey bir fonksiyon olsun.

$ E_f $ göstermek dışbükey bir kümedir.

E_f içinde $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ olsun

E_f $ içinde $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ göstermek için

E_f $ içinde $ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \

$ f \ left (x_1 \ sağ) \ leq \ alpha _1, f \ left (x_2 \ sağ) \ leq \ alpha _2 $

Bu nedenle, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ sağ) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $

Converse

$ E_f $ bir dışbükey küme olsun.

F'nin dışbükey olduğunu göstermek.

yani, $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $ olduğunu göstermek için

$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ sağ) + \ left (1- \ lambda \ sağ) f \ sol (x_2 \ sağ) $

$ X_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $

$ E_f $ bir dışbükey küme olduğundan, $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ sağ) f \ left (x_2 \ sağ) \ E_f $ içinde

Bu nedenle, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ sağ) $