Konveks Optimizasyon - Doğrusal Programlama

Metodoloji

Doğrusal Optimizasyon olarak da adlandırılan Doğrusal Programlama, ilişkilerin doğasında doğrusal olduğu matematiksel problemleri çözmek için kullanılan bir tekniktir. Doğrusal Programlamanın temel doğası, birobjective function bazılarına tabi constraints. Amaç fonksiyonu, problemin matematiksel modelinden elde edilen doğrusal bir fonksiyondur. Kısıtlamalar, modele empoze edilen ve aynı zamanda doğrusal olan koşullardır.

• Verilen sorudan amaç işlevini bulun.
• kısıtlamaları bulun.
• Kısıtlamaları bir grafik üzerine çizin.
• Tüm kısıtlamaların kesişmesiyle oluşan uygun bölgeyi bulun.
• uygulanabilir bölgenin köşelerini bulun.
• bu köşelerde amaç fonksiyonunun değerini bulun.
• Cevap, amaç işlevi (soruya göre) maksimize eden veya en aza indiren tepe noktasıdır.

Örnekler

Step 1 - 5x $ + 3y $ konusunu maksimize edin

$ x + y \ leq 2 $,

$ 3x + y \ leq 3 $,

$ x \ geq 0 \: ve \: y \ geq 0 $

Solution -

İlk adım, uygun bölgeyi bir grafikte bulmaktır.

Grafikten açıkça görüldüğü gibi, uygulanabilir bölgenin köşeleri

$ \ left (0, 0 \ right) \ left (0, 2 \ right) \ left (1, 0 \ right) \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ sağ ) $

$ F \ left (x, y \ right) = 5x + 3y $ olsun

Bu değerleri amaç fonksiyonuna koyarsak, şunu elde ederiz -

$ f \ left (0, 0 \ sağ) $ = 0

$ f \ left (0, 2 \ sağ) $ = 6

$ f \ left (1, 0 \ sağ) $ = 5

$ f \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ right) $ = 7

Bu nedenle, işlev $ \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} \ right) $'da maksimize eder

Step 2- Bir saat şirketi hem dijital hem de mekanik saat üretir. Uzun vadeli tahminler, her gün en az 100 dijital ve 80 mekanik saat olması beklenen bir talebi gösteriyor. Üretim kapasitesindeki sınırlamalar nedeniyle günde 200'den fazla dijital ve 170 mekanik saat yapılamaz. Bir nakliye sözleşmesini yerine getirmek için, her gün toplam en az 200 saat sevk edilmelidir.

Satılan her dijital saat $ 2 $ zararla sonuçlanırsa, ancak her mekanik saat $ 5 $ kar üretirse, net karı en üst düzeye çıkarmak için her türden günlük kaç tane yapılmalıdır?

Solution -

Üretilen dijital saat sayısı x $ olsun

$ y $ üretilen mekanik saat sayısı

Soruya göre günlük en az 100 dijital saat yapılacak ve en fazla 200 dijital saat yapılabilecek.

$ \ Rightarrow 100 \ leq \: x \ leq 200 $

Aynı şekilde günlük en az 80 mekanik saat yapılacak ve en fazla 170 mekanik saat yapılabilecektir.

$ \ Rightarrow 80 \ leq \: y \ leq 170 $

Her gün en az 200 saat üretileceği için.

$ \ Rightarrow x + y \ leq 200 $

Satılan her dijital saat $ 2 $ zararla sonuçlandığından, ancak her mekanik saat $ 5 $ kar ürettiğinden,

Toplam kar şu şekilde hesaplanabilir:

$ Kâr = -2x + 5y $

Ve kârı maksimize etmeliyiz, Bu nedenle soru şu şekilde formüle edilebilir:

-2 $x + 5y $ konusunu maksimize et

100 $ \: \ leq x \: \ leq 200 $

80 $ \: \ leq y \: \ leq 170 $

$ x + y \: \ leq 200 $

Yukarıdaki denklemleri bir grafikte çizdiğimizde,

Uygulanabilir bölgenin köşeleri

$ \ left (100, 170 \ right) \ left (200, 170 \ right) \ left (200, 180 \ right) \ left (120, 80 \ right) ve \ left (100, 100 \ sağ) $

Amaç fonksiyonunun maksimum değeri $ \ left (100, 170 \ right) $ 'dan elde edilir. Böylece net karı maksimize etmek için 100 adet dijital saat ve 170 adet mekanik saat üretilmelidir.