Dışbükey Optimizasyon - Hull

S'deki bir noktalar kümesinin dışbükey gövdesi, içindeki veya sınırındaki tüm S noktalarını içeren en küçük dışbükey bölgenin sınırıdır.

VEYA

İzin Vermek $S\subseteq \mathbb{R}^n$ S'nin dışbükey gövdesi $Co\left ( S \right )$ tarafından, S'nin tüm dışbükey kombinasyonlarının toplamıdır, yani, $x \in Co\left ( S \right )$ ancak ve ancak $x \in \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i$, nerede $\displaystyle\sum\limits_{1}^n \lambda_i=1$ ve $\lambda_i \geq 0 \forall x_i \in S$

Remark - Düzlemde S'deki bir dizi noktanın gövdesi dışbükey bir çokgeni tanımlar ve çokgenin sınırındaki S noktaları çokgenin köşelerini tanımlar.

Theorem $Co\left ( S \right )= \left \{ x:x=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i,x_i \in S, \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=1,\lambda_i \geq 0 \right \}$ Dışbükey kabuğun dışbükey bir set olduğunu gösterin.

Kanıt

İzin Vermek $x_1,x_2 \in Co\left ( S \right )$, sonra $x_1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i$ ve $x_2=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_\gamma x_i$ nerede $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=1, \lambda_i\geq 0$ ve $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \gamma_i=1,\gamma_i\geq0$

İçin $\theta \in \left ( 0,1 \right ),\theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2=\theta \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i+\left ( 1-\theta \right )\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \gamma_ix_i$

$\theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \theta x_i+\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \gamma_i\left ( 1-\theta \right )x_i$

$\theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left [ \lambda_i\theta +\gamma_i\left ( 1-\theta \right ) \right ]x_i$

Katsayıları dikkate alarak,

$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left [ \lambda_i\theta +\gamma_i\left ( 1-\theta \right ) \right ]=\theta \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i+\left ( 1-\theta \right )\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\gamma_i=\theta +\left ( 1-\theta \right )=1$

Bu nedenle $\theta x_1+\left ( 1-\theta \right )x_2 \in Co\left ( S \right )$

Bu nedenle, bir dışbükey gövde, bir dışbükey kümedir.