Dışbükey Optimizasyon - Koniler
$ \ Mathbb {R} ^ n $ içindeki boş olmayan bir C kümesinin, C \ Forall \ lambda \ geq 0 $ içinde $ x \ C \ Rightarrow \ lambda x \ içinde köşe 0 ile koni olduğu söylenir.
C kümesi, koninin yanı sıra dışbükeyse dışbükey bir konidir.
Örneğin, $ y = \ left | x \ right | $ dışbükey bir koni değildir çünkü dışbükey değildir.
Ancak, $ y \ geq \ left | x \ right | $ bir koni koni olduğu kadar konveks olduğu için de konveks bir konidir.
Note - Bir koni C konvekstir ancak ve ancak C $ için herhangi bir $ x, y \, x + y \ için C $.
Kanıt
C koni olduğu için, $ x için y \ C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ ve $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $
$ \ Lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ ise C dışbükeydir
C koni olduğundan, C $ 'da $ \ lambda x \ ve C \ Leftrightarrow x içinde $ \ left (1- \ lambda \ right) y \, C $' da
Dolayısıyla, C $ 'da $ x + y \ ise C dışbükeydir
Genel olarak, C $ içinde $ x_1, x_2 \ ise, o zaman, C'de $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $
Örnekler
$ \ Mathbb {R} ^ n $ 'daki sonsuz vektörler kümesinin konik kombinasyonu bir dışbükey konidir.
Herhangi bir boş küme, dışbükey bir konidir.
Herhangi bir doğrusal fonksiyon dışbükey bir konidir.
Bir hiper düzlem doğrusal olduğundan, aynı zamanda bir dışbükey konidir.
Kapalı yarım boşluklar da dışbükey konilerdir.
Note - İki dışbükey koninin kesişimi bir dışbükey konidir, ancak bunların birleşimi dışbükey bir koni olabilir veya olmayabilir.