Dışbükey Optimizasyon - Koniler

$ \ Mathbb {R} ^ n $ içindeki boş olmayan bir C kümesinin, C \ Forall \ lambda \ geq 0 $ içinde $ x \ C \ Rightarrow \ lambda x \ içinde köşe 0 ile koni olduğu söylenir.

C kümesi, koninin yanı sıra dışbükeyse dışbükey bir konidir.

Örneğin, $ y = \ left | x \ right | $ dışbükey bir koni değildir çünkü dışbükey değildir.

Ancak, $ y \ geq \ left | x \ right | $ bir koni koni olduğu kadar konveks olduğu için de konveks bir konidir.

Note - Bir koni C konvekstir ancak ve ancak C $ için herhangi bir $ x, y \, x + y \ için C $.

Kanıt

C koni olduğu için, $ x için y \ C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $ ve $ \ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $

$ \ Lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ ise C dışbükeydir

C koni olduğundan, C $ 'da $ \ lambda x \ ve C \ Leftrightarrow x içinde $ \ left (1- \ lambda \ right) y \, C $' da

Dolayısıyla, C $ 'da $ x + y \ ise C dışbükeydir

Genel olarak, C $ içinde $ x_1, x_2 \ ise, o zaman, C'de $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $

Örnekler

  • $ \ Mathbb {R} ^ n $ 'daki sonsuz vektörler kümesinin konik kombinasyonu bir dışbükey konidir.

  • Herhangi bir boş küme, dışbükey bir konidir.

  • Herhangi bir doğrusal fonksiyon dışbükey bir konidir.

  • Bir hiper düzlem doğrusal olduğundan, aynı zamanda bir dışbükey konidir.

  • Kapalı yarım boşluklar da dışbükey konilerdir.

Note - İki dışbükey koninin kesişimi bir dışbükey konidir, ancak bunların birleşimi dışbükey bir koni olabilir veya olmayabilir.