Kesinlikle Quasiconvex İşlevi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ ve S, $ \ mathbb {R} ^ n $ 'da boş olmayan bir dışbükey küme olsun, o zaman f'nin her $ x_1, x_2 \ $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ ile S $ içinde, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ sağ) <maks \: \ sol \ {f \ sol (x_1 \ sağ), f \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ \} $

Uyarılar

• Her tam olarak yarı-konveks işlevi, kesinlikle dışbükeydir.
• Kesinlikle yarı konveks işlevi yarı konveksliği ifade etmez.
• Kesinlikle yarı-konveks fonksiyonu kuvvetli bir şekilde yarı konveks olmayabilir.
• Sözde konveks işlevi, kesinlikle yarı konveks bir işlevdir.

Teoremi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ tam olarak yarı-konveks fonksiyon ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey küme olsun. $ Min \: f \ left problemini düşünün. (x \ sağ), S $ içinde x \. $ \ Hat {x} $ yerel olarak en uygun çözümse, $ \ bar {x} $ küresel en iyi çözümdür.

Kanıt

S $ içinde $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $ olacak şekilde $ \ bar {x} \ var olsun

$ \ Bar {x} olduğundan, S $ ve S'deki \ hat {x} \ dışbükey küme olduğundan,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

$ \ Hat {x} $ yerel minimum olduğundan, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ sağ), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

F kesinlikle yarı konveks olduğundan.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ sağ) , f \ left (\ bar {x} \ sağ) \ sağ \} = f \ left (\ hat {x} \ sağ) $$

Dolayısıyla çelişkidir.

Kesinlikle yarı içbükey işlevi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ ve S, $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde ayarlanmış boş olmayan bir dışbükey olsun, o zaman f, her $ x_1 için kesinlikle quasicovex işlevi olacak saud'dur, $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ ile S $ içinde x_2 \, elimizde

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ)> min \ sol \ {f \ sol (x_1 \ sağ), f \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ \} $$.

Örnekler

• $ f \ left (x \ sağ) = x ^ 2-2 $

  Bu kesinlikle yarı-konveks bir işlevdir çünkü etki alanında $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) tanımındaki kısıtlamaları karşılayan herhangi iki nokta $ x_1, x_2 $ alırsak <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Fonksiyon negatif x ekseninde azaldıkça ve pozitif x ekseninde ( bir parabol olduğu için).

• $ f \ left (x \ sağ) = - x ^ 2 $

  Kesinlikle yarı-konveks bir işlev değildir çünkü $ x_1 = 1 $ ve $ x_2 = -1 $ ve $ \ lambda = 0.5 $ alırsak, $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ ve $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Dolayısıyla tanımda belirtilen koşulları sağlamıyor. Ancak bu bir yarı içbükey işlevidir çünkü etki alanında $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ tanımındaki kısıtlamaları karşılayan herhangi iki nokta alırsak {f \ left (x_1 \ sağ), f \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ \} $. Fonksiyon negatif x ekseninde arttıkça ve pozitif x ekseninde azaldıkça.